Marco móvil
En matemáticas , un marco móvil es una generalización flexible de la noción de una base ordenada de un espacio vectorial que se utiliza a menudo para estudiar la geometría diferencial extrínseca de variedades suaves incrustadas en un espacio homogéneo .
En términos sencillos, un marco de referencia es un sistema de varillas de medición utilizadas por un observador para medir el espacio circundante proporcionando coordenadas . Un marco móvil es entonces un marco de referencia que se mueve con el observador a lo largo de una trayectoria (una curva ). El método del marco móvil, en este ejemplo simple, busca producir un marco móvil "preferido" a partir de las propiedades cinemáticas del observador. En un marco geométrico, este problema fue resuelto a mediados del siglo XIX por Jean Frédéric Frenet y Joseph Alfred Serret . [1] El cuadro Frenet-Serretes un marco en movimiento definido en una curva que se puede construir únicamente a partir de la velocidad y la aceleración de la curva. [2]
El marco de Frenet-Serret juega un papel clave en la geometría diferencial de las curvas , lo que en última instancia conduce a una clasificación más o menos completa de las curvas suaves en el espacio euclidiano hasta la congruencia . [3] Las fórmulas de Frenet-Serret muestran que hay un par de funciones definidas sobre la curva, la torsión y la curvatura , que se obtienen diferenciando el marco, y que describen completamente cómo evoluciona el marco en el tiempo a lo largo de la curva. Una característica clave del método general es que un marco móvil preferido, siempre que se pueda encontrar, brinda una descripción cinemática completa de la curva.
A finales del siglo XIX, Gaston Darboux estudió el problema de construir un marco móvil preferido sobre una superficie en el espacio euclidiano en lugar de una curva, el marco de Darboux (o trièdre mobile como se llamaba entonces). Resultó ser imposible en general construir un marco de este tipo y que había condiciones de integrabilidad que debían satisfacerse primero. [1]
Más tarde, Élie Cartan y otros desarrollaron ampliamente los marcos móviles en el estudio de subvariedades de espacios homogéneos más generales (como el espacio proyectivo ). En este escenario, un marco lleva la idea geométrica de una base de un espacio vectorial a otros tipos de espacios geométricos ( geometrías de Klein ). Algunos ejemplos de marcos son: [3]
En cada uno de estos ejemplos, la colección de todos los marcos es homogénea en cierto sentido. En el caso de marcos lineales, por ejemplo, dos marcos cualesquiera están relacionados por un elemento del grupo lineal general . Los marcos proyectivos están relacionados por el grupo lineal proyectivo . Esta homogeneidad, o simetría, de la clase de marcos captura las características geométricas del paisaje lineal, afín, euclidiano o proyectivo. Un marco en movimiento, en estas circunstancias, es sólo eso: un marco que varía de un punto a otro.
