En geometría , un óvalo cartesiano es una curva plana que consta de puntos que tienen la misma combinación lineal de distancias desde dos puntos fijos. Estas curvas llevan el nombre de René Descartes , quien las utilizó en óptica .
Definición
Deje que P y Q pueden puntos en el plano fijo, y dejar que d ( P , S ) y d ( Q , S ) denotan los distancias euclidianas desde estos puntos a un punto tercera variable S . Deje m y un ser arbitraria números reales . Entonces el óvalo cartesiano es el lugar geométrico de los puntos S que satisfacen d ( P , S ) + m d ( Q , S ) = a . Los dos óvalos formados por las cuatro ecuaciones D ( P , S ) + m d ( Q , S ) = ± a y d ( P , S ) - m d ( Q , S ) = ± a están estrechamente relacionados; juntos forman una curva plana cuártica llamada óvalos de Descartes . [1]
Casos especiales
En la ecuación d ( P , S ) + m d ( Q , S ) = a , cuando m = 1 y a > d ( P , Q ) la forma resultante es una elipse . En el caso límite en el que P y Q coinciden, la elipse se convierte en un círculo . Cuándoes una limaçon de Pascal. Si y la ecuación da una rama de una hipérbola y, por tanto, no es un óvalo cerrado.
Ecuación polinomial
El conjunto de puntos ( x , y ) que satisface la ecuación polinomial cuártica [1] [2]
donde c es la distanciaentre los dos focos fijos P = (0, 0) y Q = ( c , 0) , forma dos óvalos, los conjuntos de puntos satisfacen las dos de las cuatro ecuaciones
que tienen soluciones reales. Los dos óvalos generalmente están separados, excepto en el caso de que P o Q pertenezcan a ellos. Al menos una de las dos perpendiculares a PQ por los puntos P y Q corta esta curva cuártica en cuatro puntos reales; de esto se sigue que están necesariamente anidados, con al menos uno de los dos puntos P y Q contenidos en el interior de ambos. [2] Para una parametrización diferente y el cuartico resultante, consulte Lawrence. [3]
Aplicaciones en óptica
Como descubrió Descartes, los óvalos cartesianos pueden usarse en el diseño de lentes . Al elegir la relación de distancias de P y Q para que coincida con la relación de senos en la ley de Snell , y utilizando la superficie de revolución de uno de estos óvalos, es posible diseñar una lente llamada aplanática , que no tiene aberración esférica . [4]
Además, si un frente de onda esférico se refracta a través de una lente esférica o se refleja desde una superficie esférica cóncava, el frente de onda refractado o reflejado adquiere la forma de un óvalo cartesiano. El cáustico formado por aberración esférica en este caso puede, por tanto, describirse como la evolución de un óvalo cartesiano. [5]
Historia
Los óvalos de Descartes fueron estudiados por primera vez por René Descartes en 1637, en relación con sus aplicaciones en óptica.
Estas curvas también fueron estudiadas por Newton a partir de 1664. Un método para dibujar ciertos óvalos cartesianos específicos, ya utilizado por Descartes, es análogo a una construcción estándar de una elipse por hilo estirado. Si uno estira un hilo desde un alfiler en un foco para envolverlo alrededor de un alfiler en un segundo foco y ata el extremo libre del hilo a un bolígrafo, el camino tomado por el bolígrafo, cuando el hilo se tensa, forma un cartesiano. óvalo con una relación de 2: 1 entre las distancias de los dos focos. [6] Sin embargo, Newton rechazó tales construcciones por considerarlas insuficientemente rigurosas. [7] Definió el óvalo como la solución a una ecuación diferencial , construyó sus subnormales y nuevamente investigó sus propiedades ópticas. [8]
El matemático francés Michel Chasles descubrió en el siglo XIX que, si un óvalo cartesiano está definido por dos puntos P y Q , entonces, en general, hay un tercer punto R en la misma línea, de modo que el mismo óvalo también está definido por cualquier par de estos tres puntos. [2]
James Clerk Maxwell redescubrió estas curvas, las generalizó a curvas definidas manteniendo constante la suma ponderada de distancias de tres o más focos, y escribió un artículo titulado Observaciones sobre figuras circunscritas que tienen una pluralidad de focos y radios de diversas proporciones . JD Forbes escribió un relato de sus resultados, titulado Sobre la descripción de las curvas ovaladas y las que tienen una pluralidad de focos , y lo presentó a la Royal Society de Edimburgo en 1846, cuando Maxwell tenía 14 años (casi 15 años). ). [6] [9] [10]
Ver también
- Óvalo de Cassini
- Coordenadas bipolares de dos centros
Referencias
- ↑ a b O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "óvalo cartesiano" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ a b c d Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey (1888), Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial basado en el método de tasas o fluxiones (4ª ed.), J. Wiley, págs. 295-299.
- ^ Lawrence, J. Dennis (1972), Catálogo de curvas planas especiales , Dover, págs. 155-157 , ISBN 0-486-60288-5.
- ^ Dijksterhuis, Fokko Jan (2004), Lentes y ondas: Christiaan Huygens y la ciencia matemática de la óptica en el siglo XVII , Arquímedes, Nuevos estudios en la historia y filosofía de la ciencia y la tecnología, 9 , Springer-Verlag, págs. 13-14 , ISBN 978-1-4020-2697-3.
- ^ Percival, Archibald Stanley (1899), "Capítulo XVI. Contorno del frente de onda refractado. Cáusticos", Óptica, un manual para estudiantes , Macmillan, págs. 312–327.
- ^ a b Gardner, Martin (2007), Las últimas recreaciones: hidras, huevos y otras mistificaciones matemáticas , Springer-Verlag, págs. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0.
- ^ Guicciardini, Niccolò (2009), Isaac Newton sobre la certeza matemática y el método , Transformaciones: Estudios en la historia de la ciencia y la tecnología, 4 , MIT Press, págs. 49 y 104, ISBN 978-0-262-01317-8.
- ^ Whiteside, Derek Thomas (2008), Los artículos matemáticos de Isaac Newton, vol. 3 , Cambridge University Press, págs.139, 495 y 551, ISBN 978-0-521-04581-0.
- ^ Las cartas y artículos científicos de James Clerk Maxwell, editado por PM Harman, volumen I, 1846-1862, Cambridge University Press, pág. 35
- ^ Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Óvalos cartesianos" . MathWorld .
- Benjamin Williamson, Tratado elemental sobre el cálculo diferencial, que contiene la teoría de las curvas planas (1884)