Una curva plana cuártica es una curva algebraica plana de cuarto grado . Puede definirse mediante una ecuación cuártica bivariada:
con al menos uno de A, B, C, D, E distinto de cero. Esta ecuación tiene 15 constantes. Sin embargo, se puede multiplicar por cualquier constante distinta de cero sin cambiar la curva; así, mediante la elección de una constante de multiplicación apropiada, cualquiera de los coeficientes se puede establecer en 1, dejando sólo 14 constantes. Por tanto, el espacio de las curvas cuarticas se puede identificar con el espacio proyectivo real . También se sigue, del teorema de Cramer sobre curvas algebraicas , que hay exactamente una curva cuártica que pasa por un conjunto de 14 puntos distintos en posición general , ya que un cuártico tiene 14 grados de libertad .
Una curva cuártica puede tener un máximo de:
- Cuatro componentes conectados
- Veintiocho bi-tangentes
- Tres puntos dobles ordinarios .
También se pueden considerar curvas cuárticas sobre otros campos (o incluso anillos ), por ejemplo, los números complejos . De esta manera, se obtiene superficies de Riemann , que son objetos de una dimensión más de C , pero son de dos dimensiones sobre R . Un ejemplo es el cuartico de Klein . Además, se pueden observar curvas en el plano proyectivo , dadas por polinomios homogéneos.
Ejemplos de
Varias combinaciones de coeficientes en la ecuación anterior dan lugar a varias familias importantes de curvas que se enumeran a continuación.
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Curva de ampersand
Curva de frijol
Curva bicúspide
Curva de proa
Curva cruciforme con los parámetros (b, a) siendo (1,1) en rojo; (2,2) en verde; (3,3) en azul.
Curva cruciforme con los parámetros (b, a) siendo (1,1) en rojo; (2,1) en verde; (3,1) en azul.
Trébol de tres hojas en coordenadas cartesianas
Trébol de tres hojas en coordenadas polares
Curva de ampersand
La curva ampersand es una curva plana cuártica dada por la ecuación:
Tiene género cero, con tres puntos dobles ordinarios, todos en el plano real. [1]
Curva de frijol
La curva de frijol es una curva plana cuártica con la ecuación:
La curva de frijol tiene género cero. Tiene una singularidad en el origen, un punto triple ordinario. [2] [3]
Curva bicúspide
El premolar es una curva plana cuártica con la ecuación
donde a determina el tamaño de la curva. El bicúspide tiene solo los dos nodos como singularidades y, por lo tanto, es una curva del género uno. [4]
Curva de proa
La curva de arco es una curva plana cuártica con la ecuación:
La curva del arco tiene un solo punto triple en x = 0, y = 0, y por lo tanto es una curva racional, con género cero. [5]
Curva cruciforme
La curva cruciforme o curva cruzada es una curva plana cuártica dada por la ecuación
donde un y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva. La curva cruciforme está relacionada por una transformación cuadrática estándar, x ↦ 1 / x , y ↦ 1 / y con la elipse a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1, y por lo tanto es una curva algebraica plana racional de género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real , en x = 0 e y = 0, x = 0 y z = 0, e y = 0 y z = 0. [6]
Debido a que la curva es racional, se puede parametrizar mediante funciones racionales. Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, entonces
parametriza los puntos de la curva fuera de los casos excepcionales en los que un denominador es cero.
La inversa teorema de Pitágoras se obtiene de la ecuación anterior mediante la sustitución de x con AC , y con BC , y cada una y b con CD , en donde A , B son los puntos finales de la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC , y D es el pie de una perpendicular que cae desde C , el vértice del ángulo recto, hasta la hipotenusa:
Sección espírica
Secciones Špirić pueden definirse como bicircular curvas cuárticas que son simétricas con respecto a la x y Y ejes. Las secciones espíricas se incluyen en la familia de las secciones tóricas e incluyen la familia de los hipopótamos y la familia de los óvalos de Cassini . El nombre proviene de σπειρα, que significa toro en griego antiguo.
La ecuación cartesiana se puede escribir como
y la ecuación en coordenadas polares como
Trébol de tres hojas (trifolium)
El trébol de tres hojas o trifolio [7] es la curva plana cuártica
Resolviendo para y , la curva se puede describir mediante la siguiente función:
donde las dos apariencias de ± son independientes entre sí, dando hasta cuatro valores distintos de y para cada x .
La ecuación paramétrica de la curva es
- [8]
En coordenadas polares ( x = r cos φ, y = r sin φ) la ecuación es
Es un caso especial de curva rosa con k = 3. Esta curva tiene un punto triple en el origen (0, 0) y tiene tres tangentes dobles.
Ver también
- Cuartico ternario
- Bitangentes de un cuartico
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Curva de ampersand" . MathWorld .
- ^ Cundy, H. Martyn; Rollett, AP (1961) [1952], Modelos matemáticos (2ª ed.), Clarendon Press, Oxford, p. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167
- ^ Weisstein, Eric W. "Bean Curve" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Curva bicúspide" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Bow" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Curva cruciforme" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Trifolium" . MathWorld .
- ^ Gibson, CG, geometría elemental de curvas algebraicas, una introducción de pregrado , Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Páginas 12 y 78.