En geometría algebraica , dada una categoría C , un cociente categórico de un objeto X con la acción de un grupo G es un morfismo que
- (i) es invariante; es decir, dónde es la acción grupal dada y p 2 es la proyección.
- (ii) satisface la propiedad universal: cualquier morfismo satisfaciendo (i) factores únicos a través de .
Una de las principales motivaciones para el desarrollo de la teoría invariante geométrica fue la construcción de un cociente categórico para variedades o esquemas .
Nota no necesita ser sobreyectiva . Además, si existe, un cociente categórico es único hasta un isomorfismo canónico . En la práctica, se considera que C es la categoría de variedades o la categoría de esquemas sobre un esquema fijo. Un cociente categóricoes un cociente categórico universal si es estable bajo el cambio de base: para cualquier, es un cociente categórico.
Un resultado básico es que los cocientes geométricos (p. Ej.,) y cocientes GIT (p. ej.,) son cocientes categóricos.