En matemáticas , dada una categoría C , un cociente de un objeto X por una relación de equivalencia es un coequalizador para el par de mapas
donde R es un objeto en C y " f es una relación de equivalencia" significa que, para cualquier objeto T en C , la imagen (que es un conjunto ) dees una relación de equivalencia ; es decir, una reflexiva , simétrica y transitiva relación .
El caso básico en la práctica es cuando C es la categoría de todos los esquemas de más de algún esquema S . Pero la noción es flexible y también se puede considerar que C es la categoría de gavillas .
Ejemplos de
- Sea X un conjunto y considere alguna relación de equivalencia sobre él. Deje Q el conjunto de todas las clases de equivalencia en X . Entonces el mapaque envía un elemento x a la clase de equivalencia a la que pertenece x es un cociente.
- En el ejemplo anterior, Q es un subconjunto del conjunto potencia H de X . En geometría algebraica , se podría reemplazar H por un esquema de Hilbert o una unión disjunta de esquemas de Hilbert. De hecho, Grothendieck construyó un esquema de Picard relativo de un esquema proyectivo plano X [1] como un cociente Q (del esquema Z que parametriza divisores efectivos relativos en X ) que es un esquema cerrado de un esquema H de Hilbert . El mapa del cocientese puede considerar entonces como una versión relativa del mapa de Abel .
Ver también
- Cociente categórico , un caso especial
Notas
- ^ También es necesario asumir que las fibras geométricas son esquemas integrales; El ejemplo de Mumford muestra que la "integral" no se puede omitir.
Referencias
- Nitsure, N. Construcción de esquemas de Hilbert y Quot. Geometría algebraica fundamental: explicación de la FGA de Grothendieck, Encuestas y monografías de matemáticas 123, American Mathematical Society 2005, 105-137.