Categoría (matemáticas)
En matemáticas , una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta ) es una colección de "objetos" que están vinculados por "flechas". Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos , cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones .
La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas se pueden describir en términos de categorías, y al hacerlo, a menudo se revelan profundas ideas y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Como tal, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para las matemáticas a la teoría de conjuntos y otras bases axiomáticas propuestas. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría brinda una forma fundamental y abstracta de describir las entidades matemáticas y sus relaciones.
Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en informática, como la semántica de los lenguajes de programación .
Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse " equivalentes " a los efectos de la teoría de categorías, aunque no tengan exactamente la misma estructura.
Las categorías bien conocidas se denotan con una palabra breve en mayúscula o una abreviatura en negrita o cursiva: los ejemplos incluyen Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones de conjuntos ; Anillo , la categoría de anillos y homomorfismos de anillos ; y Top , la categoría de espacios topológicos y mapas continuos . Todas las categorías anteriores tienen el mapa de identidad como flechas de identidad y la composición como la operación asociativa sobre flechas.
El texto clásico y todavía muy utilizado sobre la teoría de categorías es Categorías para el matemático en activo de Saunders Mac Lane . Otras referencias se dan en las Referencias a continuación. Las definiciones básicas de este artículo se encuentran en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.
