En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un diagrama es el análogo categórico de una familia indexada en la teoría de conjuntos . La principal diferencia es que en el entorno categórico uno tiene morfismos que también necesitan indexación. Una familia de conjuntos indexados es una colección de conjuntos, indexados por un conjunto fijo; de manera equivalente, una función de un índice fijo establecido a la clase de conjuntos . Un diagrama es una colección de objetos y morfismos, indexados por una categoría fija; de manera equivalente, un funtor de una categoría de índice fija a alguna categoría .
El funtor universal de un diagrama es el funtor diagonal ; su adjunto derecho es el límite del diagrama y su adjunto izquierdo es el colimit. [1] La transformación natural del functor diagonal a algún diagrama arbitrario se llama cono .
La categoría J se denomina categoría de índice o esquema del diagrama D ; el funtor a veces se llama una J diagrama en forma . [2] Los objetos y morfismos reales en J son en gran parte irrelevantes; sólo importa la forma en que están interrelacionados. El diagrama de D se considera como la indexación de una colección de objetos y morfismos en C modelados en J .
Aunque, técnicamente, no hay diferencia entre un diagrama individual y un funtor o entre un esquema y una categoría , el cambio de terminología refleja un cambio de perspectiva, al igual que en el caso de la teoría de conjuntos: se fija la categoría del índice y se permite la functor (y, en segundo lugar, la categoría de destino) para variar.
Uno está más a menudo interesado en el caso en el que el esquema J es una categoría pequeña o incluso finita . Se dice que un diagrama es pequeño o finito siempre que J lo sea.
Un morfismo de diagramas de tipo J en una categoría C es una transformación natural entre functores. Entonces se puede interpretar la categoría de diagramas de tipo J en C como la categoría de functor C J , y un diagrama es entonces un objeto en esta categoría.