Categoría de functor

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría de functor es una categoría donde los objetos son los functores y los morfismos son transformaciones naturales entre los functores (aquí, hay otro objeto en la categoría). Las categorías de functor son de interés por dos razones principales: ${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$${\displaystyle G:C\to D}$

• muchas categorías que ocurren comúnmente son categorías de functores (disfrazados), por lo que cualquier enunciado probado para categorías de functores generales es ampliamente aplicable;
• cada categoría se inserta en una categoría de functor (a través de la inserción de Yoneda ); la categoría de functor a menudo tiene propiedades más agradables que la categoría original, lo que permite ciertas operaciones que no estaban disponibles en la configuración original.

Definición

Supongamos que es una categoría pequeña (es decir, los objetos y morfismos forman un conjunto en lugar de una clase adecuada ) y es una categoría arbitraria. La categoría de functores de a , escrita como Fun ( , ), Funct ( , ), o , tiene como objetos los functores covariantes de a , y como morfismos las transformaciones naturales entre dichos functores. Tenga en cuenta que las transformaciones naturales se pueden componer: si es una transformación natural del funtor al funtor , y es una transformación natural del funtor al funtor , entonces la colección${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle [C,D]}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$define una transformación natural de a . Con esta composición de transformaciones naturales (conocida como composición vertical, ver transformación natural ), satisface los axiomas de una categoría.${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle D^{C}}$

De manera completamente análoga, también se puede considerar la categoría de todos los functores contravariantes de a ; escribimos esto como Funct ( ).${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{\text{op}},D}$

Si y son ambas categorías preaditivas (es decir, sus conjuntos de morfismos son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal ), entonces podemos considerar la categoría de todos los functores aditivos de a , denotados por Add ( , ).${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

Ejemplos de

• Si es una pequeña categoría discreta (es decir, sus únicos morfismos son los morfismos de identidad), entonces un funtor de a consiste esencialmente en una familia de objetos de , indexados por ; la categoría de functor se puede identificar con la categoría de producto correspondiente: sus elementos son familias de objetos en y sus morfismos son familias de morfismos en .${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

• Una categoría de flecha (cuyos objetos son los morfismos de , y cuyos morfismos son cuadrados de conmutación ) es justa , donde 2 es la categoría con dos objetos y sus morfismos de identidad, así como una flecha de un objeto a otro (pero no otra flecha al revés).${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$
• Un gráfico dirigido consta de un conjunto de flechas y un conjunto de vértices, y dos funciones desde el conjunto de flechas hasta el conjunto de vértices, especificando el vértice inicial y final de cada flecha. La categoría de todos los gráficos dirigidos no es más que la categoría de functor , donde es la categoría con dos objetos conectados por dos morfismos paralelos (fuente y destino), y Set denota la categoría de conjuntos .${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$${\displaystyle C}$
• Cualquier grupo puede considerarse como una categoría de un solo objeto en la que cada morfismo es invertible. La categoría de los conjuntos- es la misma que la categoría funtor conjunto .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$^{${\displaystyle G}$}
• Similar al ejemplo anterior, la categoría de representaciones lineales del grupo es la misma que la categoría de functor k -Vect (donde k -Vect denota la categoría de todos los espacios vectoriales sobre el campo ).${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$^{${\displaystyle G}$} ${\displaystyle k}$
• Cualquier anillo puede considerarse como una categoría preaditiva de un objeto; la categoría de izquierda módulos más es el mismo que el aditivo categoría funtor Añadir ( , ) (donde denota la categoría de los grupos abelianos ), y la categoría de derecho -modules es Add ( ). Debido a este ejemplo, para cualquier categoría preaditiva , la categoría Agregar ( , ) a veces se llama la "categoría de los módulos de la izquierda sobre y Agregar ( , ) es la categoría de los módulos de la derecha sobre" .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$
• La categoría de pretensiones en un espacio topológico es una categoría functora : convertimos el espacio topológico en una categoría que tiene los conjuntos abiertos como objetos y un morfismo único de a si y solo si está contenido en . La categoría de pre-ondas de conjuntos (grupos abelianos, anillos) es entonces la misma que la categoría de functores contravariantes de a (o o ). Debido a este ejemplo, la categoría Funct ( , ) se denomina a veces la " categoría de pre-ondas de conjuntos en incluso para categorías generales que no surgen de un espacio topológico. Para definir poleas${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {Set}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ring}}}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Set}}}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle C}$en una categoría general , se necesita más estructura: una topología de Grothendieck en . (Algunos autores se refieren a categorías que son equivalentes a como prehaz categorías . ^[1] )${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Hechos

La mayoría de las construcciones que se pueden realizar en también se pueden realizar en realizándolas "por componentes", por separado para cada objeto en . Por ejemplo, si dos objetos y en tienen un producto , entonces dos functores y en tienen un producto , definido por para cada objeto en . De manera similar, si es una transformación natural y cada uno tiene un kernel en la categoría , entonces el kernel de en la categoría de functor es el functor con para cada objeto en .${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle F\times G}$${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle K_{c}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K(c)=K_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$

Como consecuencia, tenemos la regla general de que la categoría de functor comparte la mayoría de las propiedades "agradables" de :${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle D}$

• si es completo (o cocompleto), entonces también lo es ;${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$
• si es una categoría abeliana , entonces también lo es ;${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$

También tenemos:

• si es una categoría pequeña, entonces la categoría de pre-despegue es un topos .${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Entonces, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir de inmediato que las categorías de gráficos dirigidos, conjuntos y pre-ondas en un espacio topológico son todos topoi completos y cocompletos, y que las categorías de representaciones de módulos sobre el anillo y pre-ondas de abeliano. los grupos en un espacio topológico son todos abelianos, completos y cocompletos.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

La incrustación de la categoría en una categoría de functor que se mencionó anteriormente utiliza el lema de Yoneda como su herramienta principal. Para cada objeto de , sea ​​el functor representable contravariante de a . El lema de Yoneda establece que la asignación ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {Set}}}$

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

es una incrustación completa de la categoría en la categoría Funct ( , ). Así que, naturalmente, se sienta dentro de un topos.${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Set}}}$${\displaystyle C}$

Lo mismo puede llevarse a cabo para cualquier categoría preaditiva : Yoneda luego produce una integración completa de en la categoría de functor Agregar ( , ). Así que, naturalmente, se encuentra dentro de una categoría abeliana.${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$

La intuición mencionada anteriormente (que las construcciones que se pueden realizar en se pueden "levantar" ) se puede precisar de varias maneras; la formulación más sucinta utiliza el lenguaje de los functores adjuntos . Cada funtor induce un funtor (por composición con ). Si y es un par de functores adjuntos, entonces y también es un par de functores adjuntos.${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle F:D\to E}$${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F^{C}}$${\displaystyle G^{C}}$

La categoría de functor tiene todas las propiedades formales de un objeto exponencial ; en particular, los functores de se encuentran en una correspondencia uno a uno natural con los functores de a . La categoría de todas las categorías pequeñas con functores como morfismos es, por tanto, una categoría cerrada cartesiana .${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle E\times C\to D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

Ver también

• Diagrama (teoría de categorías)

Referencias

1. Tom Leinster (2004). Operads superiores, categorías superiores . Prensa de la Universidad de Cambridge. Bibcode : 2004hohc.book ..... L . Archivado desde el original el 25 de octubre de 2003.