En matemáticas , el lema de Yoneda es posiblemente el resultado más importante en la teoría de categorías . [1] Es un resultado abstracto sobre functores del tipo morfismos en un objeto fijo . Es una gran generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos (ver un grupo como una categoría en miniatura con un solo objeto y solo isomorfismos). Permite la incrustación de cualquier categoría localmente pequeña en una categoría de functores ( functores con valores de conjunto contravariantes) definidos en esa categoría. También aclara cómo la categoría incrustada, de functores representablesy sus transformaciones naturales , se relaciona con los otros objetos en la categoría de functor más grande. Es una herramienta importante que subyace a varios desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación . Lleva el nombre de Nobuo Yoneda .
Generalidades
El lema de Yoneda sugiere que en lugar de estudiar la categoría localmente pequeña, se debe estudiar la categoría de todos los functores de dentro (la categoría de conjuntos con funciones como morfismos ). es una categoría que creemos que entendemos bien, y un functor de dentro puede verse como una "representación" de en términos de estructuras conocidas. La categoría original está contenido en esta categoría de functor, pero aparecen nuevos objetos en la categoría de functor, que estaban ausentes y "ocultos" en . Tratar estos nuevos objetos como los viejos a menudo unifica y simplifica la teoría.
Este enfoque es similar (y de hecho generaliza) el método común de estudiar un anillo investigando los módulos sobre ese anillo. El anillo toma el lugar de la categoría, y la categoría de módulos sobre el anillo es una categoría de functors definida en .
Declaración formal
El lema de Yoneda se refiere a los functores de una categoría fija a la categoría de conjuntos ,. Sies una categoría localmente pequeña (es decir, los hom-sets son conjuntos reales y no clases adecuadas), entonces cada objeto de da lugar a un functor natural para llamado hom-functor . Este functor se denota:
- .
El hom-functor ( covariante ) envía al conjunto de morfismos y envía un morfismo (dónde y son objetos en ) al morfismo (composición con a la izquierda) que manda un morfismo en al morfismo en . Es decir,
- .
Dejar ser un functor arbitrario de a . Entonces el lema de Yoneda dice que:
- .
Aquí la notación denota la categoría de functores de a .
Dada una transformación natural de a , el elemento correspondiente de es ; [a] y dado un elemento de , la correspondiente transformación natural viene dada por .
Versión contravariante
Hay una versión contravariante del lema de Yoneda, que concierne a los functores contravariantes de a . Esta versión involucra el hom-functor contravariante
que envía al hom-set . Dado un functor contravariante arbitrario de a , El lema de Yoneda afirma que
Convenciones de nombres
El uso de para el hom-functor covariante y para el hom-functor contravariante no es completamente estándar. Muchos textos y artículos usan la convención opuesta o símbolos completamente no relacionados para estos dos functores. Sin embargo, la mayoría de los textos modernos de geometría algebraica que comienzan con el EGA fundamental de Alexander Grothendieck usan la convención en este artículo. [B]
El mnemónico "caer en algo" puede ser útil para recordar que es el hom-functor covariante. Cuando la cartaestá cayendo (es decir, un subíndice), asigna a un objeto los morfismos de dentro .
Prueba
La prueba del lema de Yoneda está indicada por el siguiente diagrama conmutativo :
Este diagrama muestra que la transformación natural está completamente determinado por ya que para cada morfismo uno tiene
- .
Además, cualquier elemento define una transformación natural de esta manera. La prueba en el caso contravariante es completamente análoga.
La incrustación de Yoneda
Un caso especial importante del lema de Yoneda es cuando el functor de a es otro hom-functor . En este caso, la versión covariante del lema de Yoneda establece que
Es decir, las transformaciones naturales entre hom-functores están en correspondencia uno a uno con los morfismos (en la dirección inversa) entre los objetos asociados. Dado un morfismo la transformación natural asociada se denota .
Mapeo de cada objeto en a su hom-functor asociado y cada morfismo a la correspondiente transformación natural determina un funtor contravariante de a , la categoría de functor de todos los functores (covariantes) de a . Uno puede interpretarcomo functor covariante :
El significado del lema de Yoneda en este contexto es que el functor es totalmente fiel , y por lo tanto da una incrustación de en la categoría de functores a . La colección de todos los functores es una subcategoría de . Por lo tanto, la incrustación de Yoneda implica que la categoría es isomorfo a la categoría .
La versión contravariante del lema de Yoneda establece que
Por lo tanto, da lugar a un funtor covariante de a la categoría de functores contravariantes para :
El lema de Yoneda luego establece que cualquier categoría localmente pequeña se puede incrustar en la categoría de functores contravariantes de a vía . Esto se llama incrustación de Yoneda .
La incrustación de Yoneda a veces se denota por よ, el Hiragana kana Yo . [2]
Funtor representable
La incrustación de Yoneda esencialmente establece que para cada categoría (localmente pequeña), los objetos en esa categoría pueden ser representados por pre-despegues , de una manera completa y fiel. Es decir,
para un prehaz P . Muchas categorías comunes son, de hecho, pre-poleas y, en una inspección más cercana, resultan ser gavillas y, como tales ejemplos son comúnmente de naturaleza topológica, se puede ver que son topoi en general. El lema de Yoneda proporciona un punto de influencia mediante el cual se puede estudiar y comprender la estructura topológica de una categoría.
En términos de cálculo (co) final
Dadas dos categorías y con dos functores , las transformaciones naturales entre ellos se pueden escribir como el siguiente final . [3]
Para cualquier functor y las siguientes fórmulas son todas formulaciones del lema de Yoneda. [4]
Categorías, anillos y módulos preditivos
Una categoría preaditiva es una categoría en la que los conjuntos de morfismos forman grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal ; los ejemplos son categorías de grupos o módulos abelianos. En una categoría preaditiva, hay una "multiplicación" y una "adición" de morfismos, por lo que las categorías preaditivas se consideran generalizaciones de anillos . Los anillos son categorías preaditivas con un objeto.
El lema de Yoneda sigue siendo válido para las categorías preaditivas si elegimos como nuestra extensión la categoría de functores contravariantes aditivos de la categoría original a la categoría de grupos abelianos; estos son functores que son compatibles con la adición de morfismos y deben considerarse como que forman una categoría de módulo sobre la categoría original. El lema de Yoneda luego produce el procedimiento natural para ampliar una categoría preaditiva de modo que la versión ampliada siga siendo preaditiva; de hecho, la versión ampliada es una categoría abeliana , una condición mucho más poderosa. En el caso de un anillo, la categoría extendida es la categoría de todos los módulos correctos sobre, y el enunciado del lema de Yoneda se reduce al conocido isomorfismo
- para todos los módulos adecuados encima .
Relación con el teorema de Cayley
Como se indicó anteriormente, el lema de Yoneda puede considerarse como una vasta generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos . Para ver esto, deja ser una categoría con un solo objeto de modo que todo morfismo es un isomorfismo (es decir, un grupoide con un objeto). Luegoforma un grupo bajo la operación de composición, y cualquier grupo puede realizarse como una categoría de esta manera.
En este contexto, un functor covariante consta de un conjunto y un homomorfismo grupal , dónde es el grupo de permutaciones de; en otras palabras,es un G-set . Una transformación natural entre tales functores es lo mismo que un mapa equivariante entre-conjuntos: una función establecida con la propiedad que para todos en y en . (En el lado izquierdo de esta ecuación, el denota la acción de en , y en el lado derecho la acción en .)
Ahora el hom-functor covariante corresponde a la acción de sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda (la versión contravariante corresponde a la multiplicación por la derecha). El lema de Yoneda con Establece que
- ,
es decir, los mapas equivariantes de este -conjunto a sí mismo están en biyección con . Pero es fácil ver que (1) estos mapas forman un grupo bajo composición, que es un subgrupo de, y (2) la función que da la biyección es un homomorfismo de grupo. (Yendo en la dirección contraria, se asocia a cada en el mapa equivariante de multiplicación a la derecha por .) Por lo tanto es isomorfo a un subgrupo de , que es el enunciado del teorema de Cayley.
Historia
Yoshiki Kinoshita declaró en 1996 que el término "lema de Yoneda" fue acuñado por Saunders Mac Lane después de una entrevista que tuvo con Yoneda. [5]
Ver también
- Teorema de representación
Notas
- ^ Recuerde que por lo que la última expresión está bien definida y envía un morfismo de a , a un elemento en .
- ^ Una excepción notable a los textos de geometría algebraica moderna que siguen las convenciones de este artículo es el álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica / David Eisenbud (1995), que utilizapara significar el hom-functor covariante. Sin embargo, el libro posterior La geometría de los esquemas / David Eisenbud, Joe Harris (1998) invierte esto y utiliza para significar el hom-functor contravariante.
Referencias
- ^ Riehl, Emily. "Teoría de categorías en contexto" (PDF) .
- ^ "Incrustación de Yoneda" . nLab . Consultado el 6 de julio de 2019 .
- ^ Loregian (2015) , Teorema 1.4.1.
- ^ Loregian (2015) , Proposición 2.2.1.
- ^ Kinoshita, Yoshiki (23 de abril de 1996). "Falleció el Prof. Nobuo Yoneda" . Consultado el 21 de diciembre de 2013 .
- Freyd, Peter (1964), categorías abelianas , Harper's Series in Modern Mathematics (edición de reimpresión de 2003), Harper y Row, Zbl 0121.02103.
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas , 5 (2a ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
- Loregian, Fosco (2015). "Este es el (co) final, mi único (co) amigo". arXiv : 1501.02503 [ math.CT ].
- Lema de Yoneda en nLab
enlaces externos
- Prueba del sistema Mizar : http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf