La ecuación funcional de Cauchy es la ecuación funcional :
Las soluciones a esto se llaman funciones aditivas . Sobre los números racionales , se puede demostrar usando álgebra elemental que hay una sola familia de soluciones, a saber para cualquier constante racional . Sobre los números reales ,, ahora con una constante real arbitraria, es igualmente una familia de soluciones; sin embargo, pueden existir otras soluciones que no son de esta forma y que son extremadamente complicadas. Sin embargo, cualquiera de una serie de condiciones de regularidad, algunas de ellas bastante débiles, impedirá la existencia de estas soluciones patológicas . Por ejemplo, una función aditivaes lineal si:
- es continuo (probado por Cauchy en 1821). Esta condición fue debilitada en 1875 por Darboux quien demostró que solo es necesario que la función sea continua en un punto.
- es monótono en cualquier intervalo .
- está limitado en cualquier intervalo.
- es Lebesgue medible .
Por otro lado, si no se imponen más condiciones a , entonces (asumiendo el axioma de elección ) hay infinitas otras funciones que satisfacen la ecuación. Esto fue probado en 1905 por Georg Hamel usando bases de Hamel . Estas funciones a veces se denominan funciones de Hamel . [1]
El quinto problema de la lista de Hilbert es una generalización de esta ecuación. Funciones donde existe un número real tal que se conocen como funciones de Cauchy-Hamel y se utilizan en invariantes de Dehn-Hadwiger que se utilizan en la extensión del tercer problema de Hilbert de 3D a dimensiones superiores. [2]
Soluciones sobre los números racionalesUn argumento simple, que involucra sólo manipulación algebraica elemental, demuestra que el conjunto de mapas aditivos es idéntico al conjunto de mapas lineales.
Teorema: Seaser una función aditiva. Luego es lineal.
Prueba: queremos demostrar que cualquier solución a la ecuación funcional de Cauchy, , toma la forma . Es conveniente considerar los casos.
Caso I: ()
Configuración , concluimos que
- .
Caso II: ()
Mediante la aplicación repetida de la ecuación de Cauchy a , obtenemos
Sustitución de por en (*), y la multiplicación del resultado por , dónde , rinde
La aplicación de (*) al lado izquierdo de (**) proporciona
- ,
dónde es una constante racional arbitraria.
Caso III: ()
Configuración en la ecuación funcional y recordando que , obtenemos
- .
Combinando esto con la conclusión extraída para los números racionales positivos ( Caso II ) se obtiene
- .
Considerados en conjunto, los tres casos anteriores nos permiten concluir que las soluciones completas de la ecuación funcional de Cauchy sobre los números racionales están dadas por:
Propiedades de las soluciones lineales sobre los números realesDemostramos a continuación que cualquier otra solución debe ser una función altamente patológica . En particular, mostramos que cualquier otra solución debe tener la propiedad de que su gráficaes denso en, es decir, que cualquier disco en el plano (por pequeño que sea) contiene un punto del gráfico. A partir de esto, es fácil probar las diversas condiciones dadas en el párrafo introductorio.
Supongamos sin pérdida de generalidad que , y para algunos .
Entonces pon .
Ahora mostramos cómo encontrar un punto en un círculo arbitrario, centro , radio dónde .
Poner y elige un número racional cerca de con:
Luego elige un número racional cerca de con:
Ahora pon:
Luego, usando la ecuación funcional, obtenemos:
Debido a nuestras elecciones anteriores, el punto está dentro del círculo.
Existencia de soluciones no lineales sobre los números reales.La prueba de linealidad dada anteriormente también se aplica a , dónde es una copia a escala de los racionales. Esto muestra que las únicas soluciones lineales están permitidas cuando el dominio deestá restringido a tales conjuntos. Así, en general, tenemos para todos . Sin embargo, como demostraremos a continuación, se pueden encontrar soluciones altamente patológicas para funcionesbasado en estas soluciones lineales, viendo los reales como un espacio vectorial sobre el campo de los números racionales. Sin embargo, tenga en cuenta que este método no es constructivo, ya que se basa en la existencia de una base (de Hamel) para cualquier espacio vectorial, una afirmación probada utilizando el lema de Zorn . (De hecho, la existencia de una base para cada espacio vectorial es lógicamente equivalente al axioma de elección ).
Demostrar que soluciones distintas a las definidas por existen, primero notamos que debido a que cada espacio vectorial tiene una base, hay una base para sobre el campo , es decir, un conjunto con la propiedad de que cualquier se puede expresar de forma única como , dónde es un subconjunto finito de (es decir, ), y cada . Observamos que debido a que no hay una base explícita para encima pueden anotarse, las soluciones patológicas definidas a continuación tampoco pueden expresarse explícitamente.
Como se argumentó anteriormente, la restricción de a debe ser un mapa lineal para cada . Además, porque por , está claro que es la constante de proporcionalidad. En otras palabras, es el mapa . Dado que cualquier puede expresarse como una combinación lineal única (finita) de , y es aditivo, está bien definido para todos y viene dado por:
- .
Es fácil comprobar que es una solución a la ecuación funcional de Cauchy dada una definición de sobre los elementos básicos, . Además, está claro que todas las soluciones son de esta forma. En particular, las soluciones de la ecuación funcional son lineales si y solo si es constante sobre todo . Así, en cierto sentido, a pesar de la incapacidad de exhibir una solución no lineal, "la mayoría" (en el sentido de cardinalidad [3] ) de las soluciones de la ecuación funcional de Cauchy son en realidad no lineales y patológicas.
Referencias- ↑ Kuczma (2009), p. 130
- ^ VG Boltianskii (1978) "El tercer problema de Hilbert", Halsted Press, Washington
- ^ Se puede demostrar fácilmente que; así que hay funciones , cada uno de los cuales podría extenderse a una solución única de la ecuación funcional. Por otro lado, solo hay soluciones que son lineales.
- Kuczma, Marek (2009). Introducción a la teoría de ecuaciones funcionales y desigualdades. Ecuación de Cauchy y desigualdad de Jensen . Basilea: Birkhäuser. ISBN 9783764387495.
enlaces externos