El teorema de Cauchy es un teorema en geometría , llamado así por Augustin Cauchy . Establece que los politopos convexos en tres dimensiones con caras correspondientes congruentes deben ser congruentes entre sí. Es decir, cualquier red poliédrica formada al desplegar las caras del poliedro sobre una superficie plana, junto con las instrucciones de pegado que describen qué caras deben conectarse entre sí, determina de forma única la forma del poliedro original. Por ejemplo, si seis cuadrados están conectados en el patrón de un cubo, entonces deben formar un cubo: no hay un poliedro convexo con seis caras cuadradas conectadas de la misma manera que no tenga la misma forma.
Este es un resultado fundamental en la teoría de la rigidez : una consecuencia del teorema es que, si uno hace un modelo físico de un poliedro convexo conectando placas rígidas para cada una de las caras del poliedro con bisagras flexibles a lo largo de los bordes del poliedro, entonces este conjunto de las placas y las bisagras formarán necesariamente una estructura rígida.
Declaración
Deje que P y Q sean combinatoria equivalentes politopos convexos 3-dimensionales; es decir, son politopos convexos con celosías de caras isomorfas . Supongamos además que cada par de caras correspondientes de P y Q son congruentes entre sí, es decir, equivalen a un movimiento rígido. Entonces P y Q son congruentes.
Para ver que la convexidad es necesaria, considere un icosaedro regular . Uno puede "empujar" un vértice para crear un poliedro no convexo que todavía es combinatoriamente equivalente al icosaedro regular. Otra forma de verlo es tomar la pirámide pentagonal alrededor de un vértice y reflejarla con respecto a su base.
Historia
El resultado se originó en los Elementos de Euclides , donde los sólidos se llaman iguales si lo mismo se aplica a sus caras. Esta versión del resultado fue probada por Cauchy en 1813 basándose en trabajos anteriores de Lagrange . Ernst Steinitz , Isaac Jacob Schoenberg y Aleksandr Danilovich Aleksandrov corrigieron un error en la prueba de Cauchy del lema principal . La prueba corregida de Cauchy es tan corta y elegante, que se considera una de las Pruebas del LIBRO . [1]
- El resultado no se mantiene en un plano o para poliedros no convexos en : existen poliedros flexibles no convexos que tienen uno o más grados de libertad de movimiento que conservan las formas de sus caras. En particular, los octaedros de Bricard son superficies flexibles que se entrecruzan por sí mismas descubiertas por un matemático francés Raoul Bricard en 1897. La esfera de Connelly , un poliedro flexible no convexo homeomorfo a una 2-esfera, fue descubierto por Robert Connelly en 1977. [2] [3]
- Aunque originalmente probado por Cauchy en tres dimensiones, el teorema fue extendido a dimensiones superiores a 3 por Alexandrov (1950).
- El teorema de rigidez de Cauchy es un corolario del teorema de Cauchy que establece que un politopo convexo no se puede deformar para que sus caras permanezcan rígidas.
- En 1974, Herman Gluck demostró que, en cierto sentido preciso, casi todas las superficies cerradas simplemente conectadas son rígidas. [4]
- El teorema de rigidez de Dehn es una extensión del teorema de rigidez de Cauchy a la rigidez infinitesimal. Este resultado fue obtenido por Dehn en 1916.
- El teorema de la unicidad de Alexandrov es un resultado de Alexandrov (1950), que generaliza el teorema de Cauchy al mostrar que los poliedros convexos se describen de forma única por los espacios métricos de las geodésicas en su superficie. El teorema de unicidad análogo para superficies lisas fue probado por Cohn-Vossen en 1927. El teorema de unicidad de Pogorelov es un resultado de Pogorelov generalizando ambos resultados y aplicándolos a superficies convexas generales.
Referencias
- ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2014). Pruebas del LIBRO . Saltador. págs. 91–93. ISBN 9783540404606.
- ^ Connelly, Robert (1977). "Un contraejemplo a la conjetura de rigidez para poliedros" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 47 : 333–338. doi : 10.1007 / BF02684342 . ISSN 0073-8301 . S2CID 122968997 .
- ^ Connelly, Robert (1979). "La rigidez de las superficies poliédricas". Revista de Matemáticas . 52 (5): 275–283. doi : 10.2307 / 2689778 . JSTOR 2689778 .
- ^ Gluck, Herman (1975). "Casi todas las superficies cerradas simplemente conectadas son rígidas". En Glaser, Leslie Curtis; Apresurándose, Thomas Benjamin (eds.). Topología geométrica . Apuntes de clase en matemáticas. 438 . Springer Berlín Heidelberg. págs. 225–239. doi : 10.1007 / bfb0066118 . ISBN 9783540374121.
- AL Cauchy, "Recherche sur les polyèdres - premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
- Max Dehn , "Über die Starrheit konvexer Polyeder" (en alemán), Matemáticas. Ana. 77 (1916), 466–473.
- Aleksandr Danilovich Aleksandrov , Convex polyhedra , GTI, Moscú, 1950. Traducción al inglés : Springer, Berlín, 2005.
- James J. Stoker , "Problemas geométricos relacionados con los poliedros en grande", Comm. Pure Appl. Matemáticas. 21 (1968), 119-168.
- Robert Connelly , "Rigidity", en Handbook of Convex Geometry , vol. A, 223–271, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1993.