Icosaedro regular

Sólido platónico

Icosaedro regular
(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio)
Tipo	Sólido platónico
Elementos	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Caras por lados	20 {3}
Notación de Conway	Yo puse
Símbolos de Schläfli	{3,5}
	s {3,4} sr {3,3} o${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$
Configuración de la cara	V5.5.5
Símbolo de Wythoff	5 | 2 3
Diagrama de Coxeter
Simetría	Yo h , H 3 , [5,3], (* 532)
Grupo de rotacion	Yo , [5,3] + , (532)
Referencias	U 22 , C 25 , W 4
Propiedades	regulares , convexa deltaedro
Ángulo diedro	138.189685 ° = arcos (- √ 5 ⁄ 3 )
3.3.3.3.3 ( figura de vértice )	Dodecaedro regular ( poliedro dual )
Neto

Modelo 3D de un icosaedro regular

En geometría , un regular de icosaedro ( / ˌ aɪ k ɒ s ə h i d r ən , - k ə -, - k oʊ - / o / aɪ ˌ k ɒ s ə h i d r ən / ^[1] ) es un poliedro convexo con 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. Es uno de los cinco sólidos platónicos, y el que tiene más caras.

Tiene cinco caras triangulares equiláteros que se encuentran en cada vértice. Está representado por su símbolo Schläfli {3,5}, o algunas veces por su figura de vértice como 3.3.3.3.3 o 3 ⁵ . Es el dual del dodecaedro , que está representado por {5,3}, que tiene tres caras pentagonales alrededor de cada vértice.

Un icosaedro regular es un estrictamente convexa deltaedro y una giroelongada pentagonal bipiramidal y una biaugmented pentagonal Antiprisma en cualquiera de las seis orientaciones.

El nombre proviene del griego εἴκοσι (eíkosi)  'veinte' y ἕδρα (hédra)  'asiento'. El plural puede ser "icosaedros" o "icosaedros" ( / - d r ə / ).

Dimensiones

Red doblada en icosaedro

Si la longitud del borde de un icosaedro regular es a , el radio de una esfera circunscrita (una que toca el icosaedro en todos los vértices) es

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\phi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.951\,056\,5163\cdot a}$ OEIS :  A019881

y el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del icosaedro) es

${\displaystyle r_{i}={\frac {\phi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.755\,761\,3141\cdot a}$ OEIS :  A179294

mientras que el radio medio, que toca el centro de cada borde, es

${\displaystyle r_{m}={\frac {a\phi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.809\,016\,99\cdot a}$ OEIS :  A019863

donde ϕ es la proporción áurea .

Área y volumen

El área de la superficie A y el volumen V de un icosaedro regular de longitud de borde a son:

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660\,254\,04a^{2}}$ OEIS :  A010527

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.181\,694\,99a^{3}}$ OEIS :  A102208

Este último es F  =  20 veces el volumen de un tetraedro general con el ápice en el centro de la esfera inscrita, donde el volumen del tetraedro es un tercio del área de la base.√ 3 a ²/4veces su altura r _i .

El factor de llenado de volumen de la esfera circunscrita es:

${\displaystyle f={\frac {V}{{\frac {4}{3}}\pi r_{u}^{3}}}={\frac {20(3+{\sqrt {5}})}{(2{\sqrt {5}}+10)^{\frac {3}{2}}\pi }}\approx 0.605\,461\,3829}$, en comparación con 66,49% para un dodecaedro.

Una esfera inscrita en un icosaedro encerrará el 89,635% de su volumen, en comparación con solo el 75,47% de un dodecaedro.

La esfera media de un icosaedro tendrá un volumen de 1,01664 veces el volumen del icosaedro, que es, con mucho, la similitud más cercana en volumen de cualquier sólido platónico con su esfera media. Podría decirse que esto hace que el icosaedro sea el "más redondo" de los sólidos platónicos.

Coordenadas cartesianas

Los vértices del icosaedro forman tres rectángulos áureos ortogonales

Los vértices de un icosaedro centrado en el origen con una longitud de borde de 2 y un circunradio de se describen mediante permutaciones circulares de: ^[2]${\displaystyle {\sqrt {\phi +2}}\approx 1.9}$

(0, ± 1, ± ϕ )

(± 1, ± ϕ , 0)

(± ϕ , 0, ± 1)

donde ϕ  = 1 + √ 5/2es la proporción áurea .

Al tomar todas las permutaciones (no solo las cíclicas) se obtiene el compuesto de dos icosaedros .

Tenga en cuenta que estos vértices forman cinco conjuntos de tres rectángulos áureos concéntricos, mutuamente ortogonales , cuyos bordes forman anillos borromeos .

Si el icosaedro original tiene una longitud de borde 1, su dodecaedro doble tiene una longitud de borde√ 5 - 1/2 = 1/ϕ= ϕ  - 1.

Modelo de un icosaedro realizado con esferas metálicas y conectores magnéticos

Las 12 aristas de un octaedro regular se pueden subdividir en la proporción áurea para que los vértices resultantes definan un icosaedro regular. Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de los bordes del octaedro de manera que cada cara esté delimitada por un ciclo, luego subdividiendo de manera similar cada borde en la media áurea a lo largo de la dirección de su vector. Los cinco octaedros que definen cualquier icosaedro dado forman un compuesto poliédrico regular , mientras que los dos icosaedros que se pueden definir de esta manera a partir de cualquier octaedro dado forman un compuesto poliedro uniforme .

Iicosaedro regular y su esfera circunscrita . Los vértices del icosaedro regular se encuentran en cuatro planos paralelos, formando en ellos cuatro triángulos equiláteros ; esto fue probado por Pappus de Alejandría

Coordenadas esféricas

Las ubicaciones de los vértices de un icosaedro regular se pueden describir utilizando coordenadas esféricas , por ejemplo, como latitud y longitud . Si se considera que dos vértices están en los polos norte y sur (latitud ± 90 °), entonces los otros diez vértices están en latitud ± arctan (1/2) ≈ ± 26,57 °. Estos diez vértices se encuentran en longitudes uniformemente espaciadas (36 ° de separación), alternando entre latitudes norte y sur.

Este esquema aprovecha el hecho de que el icosaedro regular es una bipirámide pentagonal giroelongada , con simetría diédrica D _5d , es decir, está formado por dos pirámides pentagonales congruentes unidas por un antiprisma pentagonal .

Proyecciones ortogonales

El icosaedro tiene tres proyecciones ortogonales especiales , centradas en una cara, un borde y un vértice:

Proyecciones ortogonales

Centrado por	Cara	Borde	Vértice
Avión Coxeter	A 2	A 3	H 3
Grafico
Simetría proyectiva	[6]	[2]	[10]
Grafico	Cara normal	Borde normal	Vértice normal

Mosaico esférico

El icosaedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.

Proyección ortográfica	Proyección estereográfica

Otros hechos

• Un icosaedro tiene 43.380 redes distintas . ^[3]
• Para colorear el icosaedro, de modo que no haya dos caras adyacentes del mismo color, se requieren al menos 3 colores. ^[a]
• Un problema que se remonta a los antiguos griegos es determinar cuál de las dos formas tiene mayor volumen, un icosaedro inscrito en una esfera o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Hero , Pappus y Fibonacci , entre otros. ^[4] Apolonio de Perge descubrió el curioso resultado de que la proporción de volúmenes de estas dos formas es la misma que la proporción de sus áreas de superficie. ^[5] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea , pero llevadas a diferentes potencias. ^[6] Resulta que el icosaedro ocupa menos volumen de la esfera (60,54%) que el dodecaedro (66,49%). ^[7]

Construcción mediante un sistema de líneas equiangulares

Plano de Coxeter icosaedro H 3	Plano de Coxeter 6-ortoplex D 6
Esta construcción se puede ver geométricamente como los 12 vértices del 6-ortoplex proyectados a 3 dimensiones. Esto representa un plegado geométrico de los grupos Coxeter D 6 a H 3 : Visto por estas proyecciones ortogonales del plano de Coxeter 2D , los dos vértices centrales superpuestos definen el tercer eje en este mapeo.

La siguiente construcción del icosaedro evita tediosos cálculos en el campo numérico ℚ [ √ 5 ] necesarios en enfoques más elementales.

La existencia del icosaedro equivale a la existencia de seis líneas equiangulares en ℝ ³ . De hecho, la intersección de tal sistema de líneas equiangulares con una esfera euclidiana centrada en su intersección común produce los doce vértices de un icosaedro regular, como se puede comprobar fácilmente. Por el contrario, suponiendo la existencia de un icosaedro regular, las líneas definidas por sus seis pares de vértices opuestos forman un sistema equiangular.

Para construir tal sistema equiangular, comenzamos con esta matriz cuadrada de 6 × 6 :

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).}$

Un cálculo sencillo produce A ² = 5 I (donde I es la matriz identidad de 6 × 6). Esto implica que A tiene valores propios - √ 5 y √ 5 , ambos con multiplicidad 3 ya que A es simétrico y de traza cero.

La matriz A + √ 5 I induce así una estructura euclidiana en el espacio del cociente ℝ ⁶ / ker ( A + √ 5 I ) , que es isomorfa a ℝ ³ ya que el kernel ker ( A + √ 5 I ) de A + √ 5 I tiene dimensión 3. la imagen bajo la proyección π  : ℝ ⁶ → ℝ⁶ / ker ( A + √ 5 I ) de los seis ejes coordenados ℝ v ₁ ,…, ℝ v ₆ en ℝ ⁶ forma así un sistema de seis rectas equiangulares en ℝ ^{3 que se} intersecan por pares en un ángulo agudo común de arcos  1 ⁄ √ 5 . La proyección ortogonal de ± v ₁ ,…, ± v ₆ sobre el √ 5 -eigenspace de A produce así los doce vértices del icosaedro.

Una segunda construcción sencilla del icosaedro utiliza la teoría de la representación del grupo alterno A _{5 que} actúa mediante isometrías directas sobre el icosaedro.

Simetría

La simetría icosaédrica completa tiene 15 planos de espejo (vistos como grandes círculos cian en esta esfera) que se encuentran en ordenπ/5, π/3, π/2ángulos, dividiendo una esfera en 120 dominios fundamentales de triángulos . Hay 6 ejes de 5 pliegues (azul), 10 ejes de 3 pliegues (rojo) y 15 ejes de 2 pliegues (magenta). Los vértices del icosaedro regular existen en los puntos del eje de rotación de 5 veces.

Artículo principal: simetría icosaédrica

El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alterno de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras. Dado que el grupo de Galois de la ecuación quíntica general es isomorfo al grupo simétrico de cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quíntica general no tiene solución en radicales. La demostración del teorema de Abel-Ruffini usa este simple hecho, y Felix Kleinescribió un libro que hizo uso de la teoría de las simetrías icosaédricas para derivar una solución analítica a la ecuación quíntica general ( Klein 1884 ). Ver simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para más historia y simetrías relacionadas en siete y once letras.

El grupo de simetría completo del icosaedro (incluidas las reflexiones) se conoce como grupo icosaédrico completo y es isomorfo al producto del grupo de simetría rotacional y el grupo C ₂ de tamaño dos, que se genera por la reflexión a través del centro del icosaedro.

Stellations

El icosaedro tiene un gran número de estelaciones . De acuerdo con reglas específicas definidas en el libro The Fifty-Nine Icosahedra , se identificaron 59 estelaciones para el icosaedro regular. La primera forma es el propio icosaedro. Uno es un poliedro regular de Kepler-Poinsot . Tres son poliedros compuestos regulares . ^[8]

21 de 59 estelaciones

Las caras del icosaedro se extendían hacia afuera cuando los planos se cruzan, definiendo regiones en el espacio como se muestra en este diagrama de estelación de las intersecciones en un solo plano.

Facetas

El pequeño dodecaedro estrellado , el gran dodecaedro y el gran icosaedro son tres facetas del icosaedro regular. Comparten la misma disposición de vértices . Todos tienen 30 aristas. El icosaedro regular y el gran dodecaedro comparten la misma disposición de los bordes, pero difieren en las caras (triángulos frente a pentágonos), al igual que el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro (pentagramas frente a triángulos).

Convexo	Estrellas regulares
icosaedro	gran dodecaedro	pequeño dodecaedro estrellado	gran icosaedro

Relaciones geométricas

Hay distorsiones del icosaedro que, aunque ya no son regulares, son sin embargo uniformes en los vértices . Estos son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro, y son algo análogos al cubo chato y al dodecaedro chato , incluidas algunas formas que son quirales y otras con simetría T _h , es decir, tienen planos de simetría diferentes del tetraedro.

El icosaedro es único entre los sólidos platónicos por poseer un ángulo diedro no menor de 120 °. Su ángulo diedro es de aproximadamente 138,19 °. Por lo tanto, así como los hexágonos tienen ángulos no menores de 120 ° y no pueden usarse como las caras de un poliedro regular convexo porque tal construcción no cumpliría con el requisito de que al menos tres caras se encuentren en un vértice y dejar un defecto positivo para el plegado. tres dimensiones, icosahedra no se pueden utilizar como las células de un habitual convexa polychoron porque, de manera similar, al menos tres células deben cumplir en un borde y dejar un defecto positivo para el plegado en cuatro dimensiones (en general para una convexa politopo en ndimensiones, al menos tres facetas deben coincidir en un pico y dejar un defecto positivo para el plegado en n- espacio). Sin embargo, cuando se combinan con celdas adecuadas que tienen ángulos diedros más pequeños, los icosaedros se pueden usar como celdas en policora semi-regular (por ejemplo, el chato de 24 celdas ), al igual que los hexágonos se pueden usar como caras en poliedros semi-regulares (por ejemplo, el icosaedro truncado ). Finalmente, los politopos no convexos no tienen los mismos requisitos estrictos que los politopos convexos, y los icosaedros son de hecho las células del icosaedro de 120 células , uno de los diez policoras regulares no convexos .

Un icosaedro también se puede llamar bipirámide pentagonal giroelongada . Puede descomponerse en una pirámide pentagonal giroelongada y una pirámide pentagonal o en un antiprisma pentagonal y dos pirámides pentagonales iguales.

Relación con el triacontaedro rómbico y de 6 cubos

Se puede proyectar en 3D desde el 6-demicubo 6D utilizando los mismos vectores base que forman el casco del triacontaedro rómbico del 6-cubo . Aquí se muestra incluyendo los 20 vértices interiores que no están conectados por los 30 bordes exteriores del casco de la longitud de norma 6D √ 2 . Los vértices internos forman un dodecaedro .

Los vectores base de proyección 3D [u, v, w] utilizados son:

u = (1, φ , 0, -1, φ , 0)

v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1)

w = (0, 1, φ , 0, -1, φ )

Colores y subsimetrías uniformes

Subgrupos de simetría icosaédrica

Hay 3 coloraciones uniformes del icosaedro. Estos colorantes se pueden representar como 11213, 11212, 11111, nombrando las 5 caras triangulares alrededor de cada vértice por su color.

El icosaedro se puede considerar un tetraedro desaire, ya que la desaireación de un tetraedro regular produce un icosaedro regular que tiene simetría tetraédrica quiral . También se puede construir como un octaedro truncado alternado, que tiene simetría piritoédrica . La versión de simetría piritoédrica a veces se denomina pseudoicosaedro y es dual con el piritoedro .

	Regular	Uniforme			2-uniforme
Nombre	Icosaedro regular	Octaedro chato	chata tetratetrahedron	Bipirámide cuadrada chata	Pentagonal giroelongada bipirámide	Gyrobianticupola triangular	Antiprisma triangular chato [9]
Imagen
Coloración de la cara	(11111)	(11212)	(11213)	(11212)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)
Diagrama de Coxeter
Símbolo de Schläfli	{3,5}	s {3,4}	sr {3,3}	sdt {2,4}	() || {n} || r {n} || ()		ss {2,6}
Conway	I	HtO	S t	HtdP4	k5A5		sY3 = HtA3
Simetría	Yo h [5,3] (* 532)	T h [3 + , 4] (3 * 2)	T [3,3] + (332)	D 2 h [2,2] (* 222)	D 5d [2 + , 10] (2 * 5)	D 3d [2 + , 6] (2 * 3)	D 3 [3,2] + (322)
Orden de simetría	120	24	12	8	20	12	6

Usos y formas naturales

Nanopartícula de oro vista por microscopía electrónica de transmisión .

Estructura del γ-boro.

Biología

Muchos virus , por ejemplo, el virus del herpes , tienen conchas icosaédricas . ^[10] Las estructuras virales están formadas por subunidades de proteínas idénticas repetidas conocidas como capsómeros , y el icosaedro es la forma más fácil de ensamblar utilizando estas subunidades. Se utiliza un poliedro regular porque se puede construir a partir de una única unidad básica de proteína utilizada una y otra vez; esto ahorra espacio en el genoma viral .

También se encontraron varios orgánulos bacterianos con forma icosaédrica. ^[11] La capa icosaédrica que encapsula las enzimas y los intermedios lábiles están formados por diferentes tipos de proteínas con dominios BMC .

En 1904, Ernst Haeckel describió varias especies de Radiolaria , incluida Circogonia icosahedra , cuyo esqueleto tiene la forma de un icosaedro regular. Una copia de la ilustración de Haeckel para este radiolario aparece en el artículo sobre poliedros regulares .

Química

Los closo - carboranos son compuestos químicos con forma muy parecida a la del icosaedro. El hermanamiento icosaédrico también ocurre en cristales, especialmente nanopartículas .

Muchos boruros y alótropos de boro contienen icosaedro de boro B ₁₂ como unidad de estructura básica.

Juguetes y juegos

Ver también: Sistema d20

Muere de veinte lados del Egipto ptolemaico

Die de veinte lados

Los dados icosaédricos de veinte lados se han utilizado desde la antigüedad. ^[12]

En varios juegos de rol , como Dungeons & Dragons , el dado de veinte caras ( d20 para abreviar) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Este dado tiene la forma de un icosaedro regular. Puede numerarse del "0" al "9" dos veces (en cuya forma suele servir como un dado de diez caras, o d10 ), pero la mayoría de las versiones modernas están etiquetadas del "1" al "20".

Un icosaedro es el tablero de juego tridimensional de Icosagame, anteriormente conocido como Ico Crystal Game.

Un icosaedro se usa en el juego de mesa Scattergories para elegir una letra del alfabeto. Se omiten seis letras (Q, U, V, X, Y y Z).

En el juego de Nintendo 64 Kirby 64: The Crystal Shards , el jefe Miracle Matter es un icosaedro normal.

Dentro de una bola 8 mágica , varias respuestas a preguntas de sí-no están inscritas en un icosaedro regular.

El juguete para bebés "skwish" es un objeto de tensegridad en forma de icosaedro de Jessen , que tiene las mismas coordenadas de vértice que un icosaedro regular y el mismo número de caras, pero con seis aristas giradas 90 ° para conectarse con otros vértices.

Otros

R. Buckminster Fuller y el cartógrafo japonés Shoji Sadao ^[13] diseñaron un mapa del mundo en forma de icosaedro desplegado, llamado proyección Fuller , cuya distorsión máxima es sólo del 2%. El dúo estadounidense de música electrónica ODESZA utiliza un icosaedro normal como logotipo.

Gráfico icosaédrico

Gráfico de icosaedro regular
Simetría triple
Vértices	12
Bordes	30
Radio	3
Diámetro	3
Circunferencia	3
Automorfismos	120 ( A 5 × Z 2 )
Número cromático	4
Propiedades	Hamiltoniano , normal , simétrica , distancia regular , distancia-transitivo , 3-vértice-conectado , gráfico planar
Tabla de gráficos y parámetros

El esqueleto del icosaedro (los vértices y los bordes) forma un gráfico . Es uno de los 5 gráficos platónicos , cada uno de los cuales es un esqueleto de su sólido platónico .

El alto grado de simetría del polígono se replica en las propiedades de este gráfico, que es transitivo a la distancia y simétrico . El grupo de automorfismos tiene orden 120. Los vértices se pueden colorear con 4 colores, los bordes con 5 colores y el diámetro es 3. ^[14]

El gráfico icosaédrico es hamiltoniano : hay un ciclo que contiene todos los vértices. También es un gráfico plano .

Proyección ortogonal

Iicosaedro regular disminuido

Hay 4 sólidos de Johnson relacionados , incluidas las caras pentagonales con un subconjunto de los 12 vértices. El icosaedro regular disecado similar tiene 2 vértices adyacentes disminuidos, dejando dos caras trapezoidales, y un bifastigio tiene 2 conjuntos opuestos de vértices eliminados y 4 caras trapezoidales. El antiprisma pentagonal se forma eliminando dos vértices opuestos.

Formulario	J2	Bifastigium	J63	J62	Disección icosaedro	s {2,10}	J11
Vértices	6 de 12	8 de 12	9 de 12	10 de 12			11 de 12
Simetría	C 5v , [5], (* 55) orden 10	D 2 h , [2,2], * 222 orden 8	C 3v , [3], (* 33) orden 6	C 2v , [2], (* 22) orden 4		D 5d , [2 + , 10], (2 * 5) orden 20	C 5v , [5], (* 55) orden 10
Imagen

Poliedros y politopos relacionados

El icosaedro se puede transformar mediante una secuencia de truncamiento en su dual , el dodecaedro:

Familia de poliedros icosaédricos uniformes
Simetría : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Poliedros duales a uniformes
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Como tetraedro chato y alternancia de un octaedro truncado, también existe en las familias de simetría tetraédrica y octaédrica:

Familia de poliedros tetraédricos uniformes
Simetría : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Poliedros duales a uniformes
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Poliedros octaédricos uniformes
Simetría : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= o	= o	=
Poliedros duales a uniformes
V4 3	V3.8 2	V (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con los símbolos de Schläfli {3, n }, continuando hacia el plano hiperbólico .

* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: {3, n } v t mi
Esférico				Euclides.	Hiper compacto.		Paraco.	Hiperbólico no compacto
3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i

El icosaedro regular, visto como un tetraedro chata , es un miembro de una secuencia de desairado poliedros y embaldosados con la figura vértice (3.3.3.3. N ) y diagrama de Coxeter-Dynkin . Estas figuras y sus duales tienen ( n 32) simetría rotacional , estando en el plano euclidiano para n = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n superior . Se puede considerar que la serie comienza con n = 2, con un conjunto de caras degeneradas en digones .

n 32 mutaciones de simetría de teselaciones chatas: 3.3.3.3.n v t mi
Simetría n 32	Esférico				Euclidiana	Hiperbólico compacto		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Figuras chatas
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Figuras Gyro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Esférico		Azulejos hiperbólicos v t mi
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞, 5}

El icosaedro puede teselar el espacio hiperbólico en el panal icosaédrico de orden 3 , con 3 icosaedros alrededor de cada borde, 12 icosaedros alrededor de cada vértice, con el símbolo de Schläfli {3,5,3}. Es una de las cuatro teselaciones regulares en el espacio tridimensional hiperbólico.

Se muestra aquí como un marco de borde en un modelo de disco de Poincaré , con un icosaedro visible en el centro.

Ver también

• Gran icosaedro
• Las cuadrículas geodésicas utilizan un icosaedro bisecado iterativamente para generar cuadrículas en una esfera
• Gemelos icosaédricos
• Poliedro de sesgo infinito
• Icosaedro de Jessen
• Poliedro regular
• Icosaedro truncado

Notas

1. Esto es cierto para todos los poliedros convexos con caras triangulares excepto para el tetraedro, aplicando el teorema de Brooks al gráfico dual del poliedro.

Referencias

1. Jones, Daniel (2003) [1917], Peter Roach; James Hartmann; Jane Setter (eds.), Diccionario de pronunciación en inglés , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-12-539683-2
2. Weisstein, Eric W. "Grupo icosaédrico" . MathWorld .
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4. Herz-Fischler, Roger (2013), Una historia matemática del número de oro , Publicaciones de Courier Dover, págs. 138-140, ISBN 9780486152325.
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9. Antiprismas de desaire
10. C. Michael Hogan. 2010. Virus . Enciclopedia de la Tierra. Consejo Nacional de Ciencia y Medio Ambiente . eds. S. Draggan y C. Cleveland
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Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con icosaedro .

Wikisource tiene el texto del artículo Icosahedron de la Encyclopædia Britannica de 1911 .

Busque icosaedro en Wikcionario, el diccionario gratuito.

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• Hartley, Michael. "Juegos de matemáticas del Dr. Mike para niños" .
• KJM MacLean, un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
• Tulane.edu Una discusión sobre la estructura viral y el icosaedro
• Poliedros de origami - Modelos hechos con Origami modular
• Video de escultura de espejo icosaédrico
• [1] Principio de arquitectura de virus

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Politopo uniforme 4	5 celdas	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5-simplex	5 ortoplex • 5 cubos	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

Estelaciones notables del icosaedro
Regular	Duales uniformes			Compuestos regulares			Estrella regular	Otros
Icosaedro (convexo)	Pequeño icosaedro triámbico	Icosaedro triámbico medial	Gran icosaedro triámbico	Compuesto de cinco octaedros	Compuesto de cinco tetraedros	Compuesto de diez tetraedros	Gran icosaedro	Dodecaedro excavado	Estelación final
El proceso de estelación en el icosaedro crea una serie de poliedros y compuestos relacionados con simetría icosaédrica .