La prueba de condensación de Cauchy se deriva de la estimación más sólida,
que debe entenderse como una desigualdad de números reales extendidos . Sigue el impulso esencial de una prueba, siguiendo el modelo de la prueba de Oresme de la divergencia de las series armónicas .
Para ver la primera desigualdad, los términos de la serie original se reestructuran en corridas cuyas longitudes son potencias de dos, y luego cada corrida se acota por encima reemplazando cada término por el término más grande en esa corrida. Ese término es siempre el primero, ya que se supone que los términos no son crecientes.
Para ver la segunda desigualdad, estas dos series se vuelven a dividir en tramos de potencia de dos longitudes, pero "compensados" como se muestra a continuación, de modo que el tramo de que comienza con se alinea con el final de la carrera de que termina con, de modo que el primero se mantenga siempre "por delante" del segundo.
Visualización del argumento anterior. Sumas parciales de la serie
,
, y
se muestran superpuestos de izquierda a derecha.
La transformación de "condensación" recuerda la sustitución de variable integral flexible .
Siguiendo esta idea, la prueba integral de convergencia nos da, en el caso de monótono, que converge si y solo si converge. La sustitucion produce la integral . Entonces notamos que < , donde el lado derecho proviene de aplicar la prueba integral a la serie condensada . Por lo tanto, converge si y solo si converge.
La prueba puede ser útil para series donde n aparece como denominador en f . Para el ejemplo más básico de este tipo, la serie armónica se transforma en la serie , que claramente diverge.
Como ejemplo más complejo, tome
- .
Aquí la serie definitivamente converge para a > 1 y diverge para a <1. Cuando a = 1, la transformación de condensación da la serie
- .
Los logaritmos "se desplazan hacia la izquierda". Entonces, cuando a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b <1. Cuando b = 1, el valor de c entra.
Este resultado se generaliza fácilmente: la prueba de condensación, aplicada repetidamente, puede usarse para demostrar que para , la serie de Bertrand generalizada
converge para y diverge para . [1] Aquídenota la m ésima iteración composicional de una función, así que eso
El límite inferior de la suma, , se eligió para que todos los términos de la serie sean positivos. En particular, estas series proporcionan ejemplos de sumas infinitas que convergen o divergen arbitrariamente lentamente. Por ejemplo, en el caso de y , la suma parcial excede 10 solo después de (un googolplex ) términos; sin embargo, la serie diverge sin embargo.