Prueba integral de convergencia

La prueba integral aplicada a la serie armónica . Dado que el área bajo la curva y = 1 / x para x ∈ [1, ∞) es infinita, el área total de los rectángulos también debe ser infinita.

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En matemáticas , la prueba integral de convergencia es un método utilizado para probar series infinitas de términos no negativos para la convergencia . Fue desarrollado por Colin Maclaurin y Augustin-Louis Cauchy y a veces se conoce como prueba de Maclaurin-Cauchy .

Declaración de la prueba

Considere un número entero N y una función no negativa f definida en el intervalo ilimitado [ N , ∞) , en el que es monótona decreciente . Entonces la serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

converge a un número real si y solo si la integral impropia

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

es finito. En otras palabras, si la integral diverge, entonces la serie también diverge .

Observación

Si la integral impropia es finita, entonces la demostración también da los límites superior e inferior

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

( 1 )

para la serie infinita.

Prueba

La demostración utiliza básicamente la prueba de comparación , comparando el término f ( n ) con la integral de f en los intervalos [ n - 1, n ) y [ n , n + 1) , respectivamente.

Dado que f es una función decreciente monótona, sabemos que

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

y

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

Por tanto, para cada entero n ≥ N ,

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}$

( 2 )

y, para cada número entero n ≥ N + 1 ,

${\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}$

( 3 )

Sumando todo n desde N hasta un entero mayor M , obtenemos de ( 2 )

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

y de ( 3 )

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Combinando estos dos rendimientos estimados

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Si M tiende al infinito, los límites en ( 1 ) y el resultado siguen.

Aplicaciones

La serie armónica

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

diverge porque, usando el logaritmo natural , su antiderivada y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Al contrario, la serie

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}}$

(cf. función zeta de Riemann ) converge para todo ε > 0 , porque según la regla de la potencia

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

De ( 1 ) obtenemos la estimación superior

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

que se puede comparar con algunos de los valores particulares de la función zeta de Riemann .

Límite entre divergencia y convergencia

Los ejemplos anteriores que involucran la serie armónica plantean la pregunta, si hay secuencias monótonas tales que f ( n ) disminuye a 0 más rápido que 1 / n pero más lento que 1 / n ^{1+ ε} en el sentido de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

para cada ε > 0 , y si la serie correspondiente de f ( n ) todavía diverge. Una vez que se encuentra dicha secuencia, se puede hacer una pregunta similar con f ( n ) tomando el papel de 1 / n , y así sucesivamente. De esta forma es posible investigar el límite entre divergencia y convergencia de series infinitas.

Usando la prueba integral de convergencia, se puede demostrar (ver más abajo) que, para cada número natural k , la serie

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}$

( 4 )

todavía diverge (cf. prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge para k = 1 ) pero

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}$

( 5 )

converge para todo ε > 0 . Aquí ln _k denota la composición k- veces del logaritmo natural definido recursivamente por

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Además, N _k denota el número natural más pequeño tal que la composición de k- veces está bien definida y ln _k ( N _k ) ≥ 1 , es decir

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

usando la tetración o la notación de flecha hacia arriba de Knuth .

Para ver la divergencia de la serie ( 4 ) usando la prueba integral, tenga en cuenta que mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Para ver la convergencia de la serie ( 5 ), tenga en cuenta que por la regla de la potencia , la regla de la cadena y el resultado anterior

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

y ( 1 ) da límites para la serie infinita en ( 5 ).

Ver también

• Pruebas de convergencia
• Convergencia (matemáticas)
• Prueba de comparación directa
• Teorema de convergencia dominado
• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Prueba de comparación de límites
• Teorema de la convergencia monótona

Referencias

• Knopp, Konrad , "Infinite Sequences and Series", Dover Publications , Inc., Nueva York, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Whittaker, ET y Watson, GN, A Course in Modern Analysis , cuarta edición, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 
• Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3