Condición de frontera de Cauchy

En matemáticas , una condición de frontera de Cauchy ( francés: [koʃi] ) aumenta una ecuación diferencial ordinaria o una ecuación diferencial parcial con condiciones que la solución debe satisfacer en la frontera; idealmente para asegurar que existe una solución única. Una condición de frontera de Cauchy especifica tanto el valor de la función como la derivada normal en la frontera del dominio . Esto corresponde a imponer tanto una condición de contorno de Dirichlet como de Neumann . Lleva el nombre del prolífico analista matemático francés del siglo XIX.Agustín Louis Cauchy .

donde, para asegurar que existe una solución única, se puede especificar el valor de la función y el valor de la derivada en un punto dado , es decir, ${\ estilo de visualización y (s)}$ ${\ estilo de visualización y}$ ${\ estilo de visualización y'}$ ${\ estilo de visualización s = un}$

donde es un límite o punto inicial. Dado que el parámetro suele ser el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden denominarse condiciones de valor inicial o datos de valor inicial o simplemente datos de Cauchy . Un ejemplo de tal situación son las leyes de movimiento de Newton, donde la aceleración depende de la posición , la velocidad y el tiempo ; aquí, los datos de Cauchy corresponden a conocer la posición inicial y la velocidad. ${\ estilo de visualización a}$ ${\ estilo de visualización}$ ${\ estilo de visualización y''}$ ${\ estilo de visualización y}$ ${\ estilo de visualización y'}$ ${\ estilo de visualización}$

Para las ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones de frontera de Cauchy especifican tanto la función como la derivada normal en la frontera. Para hacer las cosas simples y concretas, considere una ecuación diferencial de segundo orden en el plano

donde es la solución desconocida, denota derivada de con respecto a etc. Las funciones especifican el problema. ${\ estilo de visualización \ psi (x, y)}$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {x}}$ ${\ estilo de visualización \ psi}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización A, B, C, F}$

Ahora buscamos una que satisfaga la ecuación diferencial parcial en un dominio , que es un subconjunto del plano, y tal que las condiciones de contorno de Cauchy ${\ estilo de visualización \ psi}$ ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ estilo de visualización xy}$