En matemáticas , el teorema de Cayley-Bacharach es un enunciado sobre curvas cúbicas (curvas planas de grado tres) en el plano proyectivo P 2 . La forma original dice:
- Suponga que dos cúbicos C 1 y C 2 en el plano proyectivo se encuentran en nueve puntos (diferentes), como lo hacen en general en un campo algebraicamente cerrado . Luego, cada cúbico que pasa por cualquiera de los ocho puntos también pasa por el noveno punto.
Una forma más intrínseca del teorema de Cayley-Bacharach dice lo siguiente:
- Cada curva cúbica C 1 en un campo algebraicamente cerrado que pasa por un conjunto dado de ocho puntos P 1 , ..., P 8 también pasa por un cierto noveno punto (fijo) P 9 , contando multiplicidades.
Un resultado relacionado con las cónicas fue probado por primera vez por el geómetra francés Michel Chasles y luego generalizado a cúbicas por Arthur Cayley e Isaak Bacharach ( 1886 ).
Detalles
Si siete de los puntos P 1 , ..., P 8 se encuentran en una cónica , entonces se puede elegir el noveno punto en esa cónica, ya que C siempre contendrá toda la cónica debido al teorema de Bézout . En otros casos, tenemos lo siguiente.
- Si no hay siete puntos de P 1 , ..., P 8 son co-cónicos, entonces el espacio vectorial de polinomios homogéneos cúbicos que desaparecen en (los conos afines de) P 1 , ..., P 8 (con multiplicidad para puntos dobles) tiene dimensión dos.
En ese caso, cada cúbico a través de P 1 , ..., P 8 también pasa por la intersección de dos cúbicos diferentes a través de P 1 , ..., P 8 , que tiene al menos nueve puntos (sobre el cierre algebraico ) en explicación del teorema de Bézout . Estos puntos no pueden ser cubiertos por P 1 , ..., P 8 solamente, lo que nos da P 9 .
Dado que las cónicas degeneradas son una unión de como máximo dos líneas, siempre hay cuatro de siete puntos en una cónica degenerada que son colineales. Como consecuencia:
- Si no hay siete puntos de P 1 , ..., P 8 se encuentran en una cónica no degenerada, y no hay cuatro puntos de P 1 , ..., P 8 en una línea, entonces el espacio vectorial de cúbico homogéneo polinomios que se desvanecen en (los conos afines de) P 1 , ..., P 8 tiene dimensión dos.
Por otro lado, suponga que P 1 , P 2 , P 3 , P 4 son colineales y que no hay siete puntos de P 1 , ..., P 8 son co-cónicos. Entonces no hay cinco puntos de P 1 , ..., P 8 y no hay tres puntos de P 5 , P 6 , P 7 , P 8 son colineales. Dado que C siempre contendrá toda la línea que pasa por P 1 , P 2 , P 3 , P 4 debido al teorema de Bézout , el espacio vectorial de polinomios cúbicos homogéneos que desaparecen en (los conos afines de) P 1 , ..., P 8 es isomorfo al espacio vectorial de polinomios cuadráticos homogéneos que se desvanecen (los conos afines de) P 5 , P 6 , P 7 , P 8 , que tiene dimensión dos.
Aunque los conjuntos de condiciones para ambos resultados de dimensión dos son diferentes, ambos son estrictamente más débiles que las posiciones generales completas: se permite que tres puntos sean colineales y seis puntos que se encuentren en una cónica (en general, dos puntos determinan una línea y cinco puntos determinan una cónica ). Para el teorema de Cayley-Bacharach, es necesario tener una familia de cúbicos pasando por los nueve puntos, en lugar de uno solo.
Según el teorema de Bézout , dos curvas cúbicas diferentes sobre un campo algebraicamente cerrado que no tienen un componente irreducible común se encuentran exactamente en nueve puntos (contados con multiplicidad). El teorema de Cayley-Bacharach afirma que el último punto de intersección de dos miembros cualesquiera de la familia de curvas no se mueve si ya se prescriben ocho puntos de intersección (sin siete cocónicos).
Aplicaciones
Un caso especial es el teorema de Pascal , en cuyo caso los dos cúbicos en cuestión están todos degenerados: dados seis puntos en una cónica (un hexágono), considere las líneas obtenidas al extender los lados opuestos; esto produce dos cúbicos de tres líneas cada uno, que se cruzan en 9 puntos: los 6 puntos de la cónica y otros 3. Estos 3 puntos adicionales se encuentran en una línea, ya que la cónica más la línea que pasa por dos de los puntos es un cúbico que pasa por 8 de los puntos.
Una segunda aplicación es el teorema del hexágono de Pappus , similar al anterior, pero los seis puntos están en dos líneas en lugar de en una cónica.
Finalmente, se encuentra un tercer caso para demostrar la asociatividad de la suma de puntos de la curva elíptica . Dejemos que un primer cúbico contenga las tres líneas BC, O (A + B) y A (B + C); y un segundo cúbico que contiene las tres líneas AB, O (B + C) y C (A + B). Los siguientes ocho puntos son comunes a ambas cúbicas: A, B, C, A + B, -AB, B + C, -BC, O. Por lo tanto, sus novenos puntos deben ser iguales -A- (B + C) = - (A + B) -C, dando la asociatividad.
Recuento de dimensiones
Se puede entender el teorema de Cayley-Bacharach y por qué surge para el grado 3, mediante el recuento de dimensiones . En pocas palabras, nueve puntos determinan un cúbico, pero en general definen un cúbico único . Por lo tanto, si los nueve puntos se encuentran en más de un cúbico, equivalentemente en la intersección de dos cúbicos (como 3 × 3 = 9 ), no están en posición general - están sobredeterminados por una dimensión - y por lo tanto los cúbicos que los atraviesan satisfacen una restricción adicional, como se refleja en la propiedad "ocho implica nueve". El fenómeno general se llama superabundancia ; consulte el teorema de Riemann-Roch para las superficies .
Detalles
Formalmente, primero recuerde que dadas dos curvas de grado d , definen un lápiz ( sistema lineal de un parámetro ) de curvas de grado d tomando combinaciones lineales proyectivas de las ecuaciones definitorias; esto corresponde a dos puntos que determinan una línea proyectiva en el espacio paramétrico de curvas, que es simplemente espacio proyectivo.
El teorema de Cayley-Bacharach surge para un alto grado porque el número de puntos de intersección de dos curvas de grado d , a saber, d 2 (según el teorema de Bézout ), crece más rápido que el número de puntos necesarios para definir una curva de grado d , que se da por
Estos primero concuerdan para d = 3 , razón por la cual el teorema de Cayley-Bacharach ocurre para cúbicos, y para un grado más alto d 2 es mayor, de ahí las generalizaciones de grado más alto.
En detalle, el número de puntos necesarios para determinar una curva de grado d es el número de monomios de grado d , menos 1 de proyectivización. Durante los primeros d, estos dan como resultado:
- d = 1: 2 y 1: dos puntos determinan una línea, dos líneas se cruzan en un punto,
- d = 2: 5 y 4: cinco puntos determinan una cónica , dos cónicas se cruzan en cuatro puntos,
- d = 3: 9 y 9: nueve puntos determinan un cúbico, dos cúbicos se cruzan en nueve puntos,
- d = 4:14 y 16.
Por lo tanto, estos primero concuerdan para 3, y el número de intersecciones es mayor cuando d > 3 .
El significado de esto es que los 9 puntos de intersección de dos cúbicos están en posición especial con respecto a los cúbicos, a fortiori para un grado superior, pero a diferencia de un grado inferior: dos líneas se cruzan en un punto, que es trivialmente en posición lineal general, y dos cuadráticas se cruzan en cuatro puntos, que (asumiendo que las cuadráticas son irreducibles, por lo que no hay tres puntos colineales) están en posición cuadrática general porque cinco puntos determinan una cuadrática, y cuatro puntos cualesquiera (en posición lineal general) tienen un lápiz de cuadráticas hasta ellos, ya que el sistema está subdeterminado. Para los cúbicos, nueve puntos determinan un cúbico, pero en general determinan un cúbico único ; por lo tanto, tener dos cúbicos diferentes que los atraviesan (y por lo tanto un lápiz) es especial: el espacio de la solución es una dimensión más alta de lo esperado y, por lo tanto, las soluciones satisfacen una restricción adicional, a saber, la propiedad "8 implica 9".
Más concretamente, debido a que el espacio vectorial de polinomios homogéneos P ( x , y , z ) de grado tres en tres variables x , y , z tiene dimensión 10 , el sistema de curvas cúbicas que pasan por ocho puntos (diferentes) está parametrizado por un vector espacio de dimensión ≥ 2 (la desaparición del polinomio en un punto impone una única condición lineal). Se puede demostrar que la dimensión es exactamente dos si no cuatro de los puntos son colineales y no hay siete puntos en una cónica. El teorema de Cayley-Bacharach se puede deducir de este hecho ( Hartshorne ) .
Referencias
- Michel Chasles , Traité des section coniques , Gauthier-Villars, París, 1885.
- Bacharach, Isaak (1886), "Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz" , Mathematische Annalen , Berlín / Heidelberg: Springer, 26 (2): 275–299, doi : 10.1007 / BF01444338 , ISSN 0025-5831
- Cayley, Arthur (1889), Sobre la intersección de curvas , Cambridge: Cambridge University Press
- Edward D. Davis, Anthony V. Geramita y Ferruccio Orecchia, álgebras de Gorenstein y teorema de Cayley-Bacharach , Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597.
- David Eisenbud , Mark Green y Joe Harris , Teoremas y conjeturas de Cayley-Bacharach , Boletín de la American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295-324. SEÑOR1376653
- Robin Hartshorne , Geometría algebraica , capítulo 5, sección 4 (La superficie cúbica en), Corolario 4.5.
- Katz, Gabriel (2005). "Curvas en jaulas: un zoológico algebro-geométrico". arXiv : matemáticas / 0508076 .