En álgebra lineal , geometría y trigonometría , el determinante de Cayley-Menger es una fórmula para el contenido, es decir, el volumen dimensional superior , de un-dimensional simplex en términos de los cuadrados de todas las distancias entre pares de sus vértices. El determinante lleva el nombre de Arthur Cayley y Karl Menger .
Dejar ser puntos en -espacio euclidiano dimensional , con[a] . Estos puntos son los vértices de unsimplex n- dimensional: un triángulo cuando; un tetraedro cuando, y así. Dejar ser las distancias entre vértices y . El contenido, es decir, el volumen n- dimensional de este simplex, denotado por, se puede expresar como una función de los determinantes de ciertas matrices, de la siguiente manera: [1]
Este es el determinante de Cayley-Menger . Paraes un polinomio simétrico en el's y, por tanto, es invariante bajo la permutación de estas cantidades. Esto falla por, pero siempre es invariante bajo la permutación de los vértices [b] .
Se puede encontrar una prueba de la segunda ecuación. [2] De la segunda ecuación, la primera se puede derivar mediante operaciones elementales de filas y columnas :
luego intercambie la primera y la última columna, obteniendo un , y multiplica cada uno de sus filas interiores por .
En el caso de , tenemos eso es el área de un triángulo y, por lo tanto, lo denotaremos por. Según el determinante de Cayley-Menger, donde el triángulo tiene longitudes de lados, y ,
El resultado en la tercera línea se debe a la identidad de Fibonacci . La línea final se puede reescribir para obtener la fórmula de Herón para el área de un triángulo dados tres lados, que Arquímedes conocía antes. [5]
En el caso de , la cantidad da el volumen de un tetraedro , que denotaremos por. Para distancias entre y dada por , el determinante de Cayley-Menger da [6] [7]
Encontrar el circunradio de un simplex
Dado un n-simplex no degenerado, tiene una n-esfera circunscrita, con radio . Entonces el (n + 1) -simplex hecho de los vértices del n-simplex y el centro de la n-esfera está degenerado. Por lo tanto, tenemos
En particular, cuando , esto da el circunradio de un triángulo en términos de la longitud de sus aristas.