Colector esférico de 3

En matemáticas , una M esférica de 3 variedades es una variedad de 3 de la forma

${\displaystyle M=S^{3}/\Gamma }$

donde es un subgrupo finito de SO (4) que actúa libremente mediante rotaciones en la 3-esfera . Todos estos colectores son primarios , orientables y cerrados . Los 3 colectores esféricos a veces se denominan colectores 3 elípticos o colectores Clifford-Klein.${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S^{3}}$

Propiedades

Un 3-múltiple esférico tiene un grupo fundamental finito isomorfo a Γ mismo. La conjetura de la eliptización , probada por Grigori Perelman , establece que, a la inversa, todas las variedades tridimensionales compactas con grupo fundamental finito son variedades esféricas.${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$

El grupo fundamental es cíclico o es una extensión central de un grupo diedro , tetraédrico , octaédrico o icosaédrico por un grupo cíclico de orden par. Esto divide el conjunto de tales variedades en 5 clases, que se describen en las siguientes secciones.

Las variedades esféricas son exactamente las variedades con geometría esférica, una de las 8 geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston .

Caso cíclico (espacios de lentes)

Los colectores con Γ cíclico son precisamente los espacios de lentes tridimensionales . Un espacio de lentes no está determinado por su grupo fundamental (hay espacios de lentes no homeomórficos con grupos fundamentales isomórficos ); pero cualquier otra variedad esférica lo es.${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$

Los espacios de lentes tridimensionales surgen como cocientes de por la acción del grupo que es generado por elementos de la forma.${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.}$

donde . Un espacio de lentes de este tipo tiene un grupo fundamental para todos , por lo que los espacios con diferentes no son equivalentes de homotopía. Además, las clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía se conocen como sigue. Los espacios tridimensionales y son:${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}$${\displaystyle L(p;q)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L(p;q_{1})}$${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. homotopia equivalente si y solo si para algunos${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ;}$
2. homeomorfo si y solo si ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

En particular, los espacios de la lente L (7,1) y L (7,2) dan ejemplos de dos variedades 3 que son homotopía equivalentes pero no homeomórficas.

El espacio de la lente L (1,0) es la 3-esfera, y el espacio de la lente L (2,1) es el espacio proyectivo real de 3 dimensiones.

Los espacios de la lente se pueden representar como espacios de fibra Seifert de muchas maneras, generalmente como espacios de fibra sobre la 2-esfera con como máximo dos fibras excepcionales, aunque el espacio de la lente con un grupo fundamental de orden 4 también tiene una representación como un espacio de fibra Seifert sobre el plano proyectivo sin fibras excepcionales.

Caja diedro (colectores de prisma)

Una variedad de prisma es una variedad tridimensional cerrada M cuyo grupo fundamental es una extensión central de un grupo diedro.

El grupo fundamental π ₁ ( M ) de M es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

para enteros k , m , n con k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 y m coprime a 2 n .

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

para enteros coprimos m , n con m ≥ 1, n ≥ 2. (La n aquí es igual a la n anterior , y la m aquí es 2 ^{k -1} veces la m anterior ).

Continuamos con esta última presentación. Este grupo es un grupo metacyclic de orden 4 mn con abelianization de orden 4 m (de modo m y n son ambos determinado por este grupo). El elemento y genera un subgrupo normal cíclico de orden 2 n , y el elemento x tiene orden 4 m . El centro es cíclico de orden 2 my es generado por x ² , y el cociente por el centro es el grupo diedro de orden 2 n .

Cuando m = 1, este grupo es un grupo diedro o dicíclico binario . El ejemplo más simple es m = 1, n = 2, cuando π ₁ ( M ) es el grupo de cuaterniones de orden 8.

Colectores Prism se determinan de forma única por sus grupos fundamentales: si un cerrado 3-colector tiene el mismo grupo fundamental como un prisma colector de M , es homeomorfo a M .

Los colectores de prisma se pueden representar como espacios de fibra Seifert de dos formas.

Caja tetraédrica

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle }$

para enteros k , m con k ≥ 1, m ≥ 1 y m coprime a 6.

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle }$

para un entero impar m ≥ 1. (La m aquí es 3 ^{k -1} veces la m anterior ).

Continuamos con esta última presentación. Este grupo tiene orden de 24 m . Los elementos de x y y generan un subgrupo normal isomorfo al grupo de cuaternión de orden 8. El centro es cíclico de orden 2 m . Es generado por los elementos z ³ y x ² = y ² , y el cociente por el centro es el grupo tetraédrico, equivalentemente, el grupo alterno A ₄ .

Cuando m = 1 este grupo es el grupo tetraédrico binario .

Estas variedades están determinadas únicamente por sus grupos fundamentales. Todos se pueden representar de una manera esencialmente única como espacios de fibras de Seifert : la variedad del cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 3.

Caja octaédrica

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo a 6 con el grupo octaédrico binario (de orden 48) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .}$

Estas variedades están determinadas únicamente por sus grupos fundamentales. Todos ellos pueden representarse de una manera esencialmente única como espacios de fibras de Seifert : la variedad del cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 4.

Caso icosaédrico

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprime a 30 con el grupo icosaédrico binario (orden 120) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .}$

Cuando m es 1, la variedad es la esfera de homología de Poincaré .

Estas variedades están determinadas únicamente por sus grupos fundamentales. Todos se pueden representar de una manera esencialmente única como espacios de fibras de Seifert: la variedad del cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 5.

Referencias

• Peter Orlik , Seifert manifolds , Lecture Notes in Mathematics, vol. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN  0-387-06014-6
• William Jaco , Conferencias sobre topología de tres variedades ISBN 0-8218-1693-4 
• William Thurston , topología y geometría tridimensional. Vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey , 1997. ISBN 0-691-08304-5