En matemáticas , la homología celular en topología algebraica es una teoría de homología para la categoría de complejos CW . Está de acuerdo con la homología singular y puede proporcionar un medio eficaz para calcular módulos de homología.
DefiniciónSi es un complejo CW con n- esqueleto , los módulos de homología celular se definen como los grupos de homología H i del complejo de la cadena celular
dónde se toma como el conjunto vacío.
El grupo
es abeliano libre , con generadores que se pueden identificar con el-células de . Dejar frijol -célula de , y deja ser el mapa adjunto. Entonces considera la composición
donde el primer mapa identifica con a través del mapa característico de , el objeto es un -célula de X , el tercer mapa es el mapa de cocientes que colapsa a un punto (envolviendo así en una esfera ), y el último mapa identifica con a través del mapa característico de .
El mapa de límites
entonces viene dada por la fórmula
dónde es el grado de y la suma se hace cargo de todo -células de , considerados como generadores de .
EjemploLa esfera n- dimensional S n admite una estructura CW con dos celdas, una celda 0 y una celda n . Aquí la n- celda está unida por el mapeo constante dea celda 0. Dado que los generadores de los grupos de la cadena celularpuede identificarse con las k- celdas de S n , tenemos que por y por lo demás es trivial.
Por lo tanto para , el complejo de cadena resultante es
pero luego, como todos los mapas de límites son hacia o desde grupos triviales, todos deben ser cero, lo que significa que los grupos de homología celular son iguales a
Cuándo , no es muy difícil verificar que el mapa de límites es cero, lo que significa que la fórmula anterior se aplica a todos los valores positivos .
Como muestra este ejemplo, los cálculos realizados con homología celular son a menudo más eficientes que los calculados utilizando solo la homología singular.
Otras propiedadesGeneralizaciónLa secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch es el método análogo de calcular la (co) homología de un complejo CW, para una teoría de (co) homología extraordinaria arbitraria .
Característica de EulerPara un complejo celular , dejar ser su -th esqueleto, y ser el número de -celdas, es decir, el rango del módulo gratuito . La característica de Euler de entonces se define por
La característica de Euler es una homotopía invariante. De hecho, en términos de los números Betti de,
Esto se puede justificar de la siguiente manera. Considere la larga secuencia exacta de homología relativa para el triple:
Persiguiendo la exactitud a través de la secuencia da
El mismo cálculo se aplica a los triples. , , etc. Por inducción,
Referencias