Teorema de la densidad de Chebotarev
El teorema de densidad de Chebotarev en la teoría algebraica de números describe estadísticamente la división de números primos en una extensión K de Galois dada del campo de los números racionales . En términos generales, un número primo se factorizará en varios números primos ideales en el anillo de números enteros algebraicos de K . Solo hay un número finito de patrones de división que pueden ocurrir. Aunque la descripción completa de la división de cada primo p en una extensión general de Galois es un problema importante sin resolver, el teorema de densidad de Chebotarev dice que la frecuencia de ocurrencia de un patrón dado, para todos los primos pmenor que un número entero grande N , tiende a cierto límite cuando N tiende a infinito. Fue probado por Nikolai Chebotaryov en su tesis en 1922, publicada en ( Tschebotareff 1926 ).
Un caso especial que es más fácil de establecer dice que si K es un cuerpo numérico algebraico que es una extensión de Galois de grado n , entonces los números primos que se dividen completamente en K tienen densidad
entre todos los primos. De manera más general, el comportamiento de división se puede especificar asignando a (casi) cada número primo un invariante, su elemento de Frobenius , que es un representante de una clase de conjugación bien definida en el grupo de Galois .
Entonces el teorema dice que la distribución asintótica de estos invariantes es uniforme sobre el grupo, de modo que una clase de conjugación con k elementos ocurre con frecuencia asintótica a
Cuando Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez la noción de números enteros complejos Z [ i ], observó que los números primos ordinarios pueden factorizar aún más este nuevo conjunto de números enteros. De hecho, si un primo p es congruente con 1 mod 4, entonces se factoriza en un producto de dos enteros gaussianos primos distintos, o "se divide por completo"; si p es congruente con 3 mod 4, entonces permanece primo o es "inerte"; y si p es 2 entonces se convierte en un producto del cuadrado del primo (1+i) y el entero gaussiano invertible -i ; decimos que 2 "se ramifica". Por ejemplo,
A partir de esta descripción, parece que a medida que uno considera primos cada vez más grandes, la frecuencia de un primo que se divide completamente se acerca a 1/2, y lo mismo ocurre con los primos que siguen siendo primos en Z [ i ]. El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas demuestra que esto es así. Aunque los números primos en sí mismos aparecen de manera bastante errática, la división de los números primos en la extensión