Se puede ver que la segunda función de Chebyshev está relacionada con la primera escribiéndola como
donde k es el único entero tal que p k ≤ x y x < p k + 1 . Los valores de k se dan en OEIS : A206722 . Una relación más directa viene dada por
Tenga en cuenta que esta última suma tiene solo un número finito de términos que no desaparecen, como
La segunda función de Chebyshev es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los números enteros de 1 an .
Los valores de mcm (1,2, ..., n ) para la variable entera n se dan en OEIS : A003418 .
Asintóticas y límites
Los siguientes límites son conocidos para las funciones de Chebyshev: [1] [2] (en estas fórmulas p k es el k- ésimo número primo p 1 = 2 , p 2 = 3 , etc.)
(El valor numérico de ζ ′ (0)/ζ (0)es log (2π) .) Aquí, ρ pasa por encima de los ceros no triviales de la función zeta, y ψ 0 es lo mismo que ψ , excepto que en sus discontinuidades de salto (las potencias primas) toma el valor a mitad de camino entre los valores de la izquierda y el derecho:
De la serie de Taylor para el logaritmo , el último término de la fórmula explícita puede entenderse como una suma dex ω/ωsobre los ceros triviales de la función zeta, ω = −2, −4, −6, ... , es decir
Del mismo modo, el primer término, x = x 1/1, corresponde al polo simple de la función zeta en 1. Ser un polo en lugar de un cero representa el signo opuesto del término.
Propiedades
Un teorema de Erhard Schmidt establece que, para alguna constante positiva explícita K , hay infinitos números naturales x tales que
La primera función de Chebyshev es el logaritmo del primorial de x , denotado x # :
Esto prueba que el primorial x # es asintóticamente igual a e (1 + o (1)) x , donde " o " es la notación pequeña- o (ver notación O grande ) y junto con el teorema de los números primos establece el comportamiento asintótico de p n # .
Relación con la función de conteo de primos
La función de Chebyshev se puede relacionar con la función de conteo de primos de la siguiente manera. Definir
Ciertamente π ( x ) ≤ x , por lo que en aras de la aproximación, esta última relación puede reformularse en la forma
La hipótesis de Riemann
La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real 1/2. En este caso, | x ρ | = √ x , y se puede demostrar que
Por lo anterior, esto implica
Buena evidencia de que la hipótesis podría ser cierta proviene del hecho propuesto por Alain Connes y otros, que si diferenciamos la fórmula de von Mangoldt con respecto a x obtenemos x = e u . Manipulando, tenemos la "Fórmula de seguimiento" para el exponencial del operador hamiltoniano que satisface
y
donde la "suma trigonométrica" puede considerarse como la traza del operador ( mecánica estadística ) e iuĤ , que solo es cierto si ρ = 1/2+ iE ( n ) .
Usando el enfoque semiclásico, el potencial de H = T + V satisface:
con Z ( u ) → 0 cuando u → ∞ .
La solución a esta ecuación integral no lineal se puede obtener (entre otros) mediante
para obtener la inversa del potencial:
Función de suavizado
La diferencia de la función suavizada de Chebyshev y x 2/2para x <10 6
La función de suavizado se define como
Se puede demostrar que
Formulación variacional
La función de Chebyshev evaluada en x = e t minimiza la función
^ Pierre Dusart, "Límites más precisos paraψ,θ,π, p k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Universidad de Limoges. Una versión abreviada apareció como "El k- ésimo primo es mayor que k (ln k + ln ln k - 1)para k ≥ 2",Matemáticas de Computación, vol. 68, núm. 225 (1999), págs. 411–415.
^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",Mathematische Annalen,57(1903), págs. 195-204.
^ G .H. Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de los primos",Acta Mathematica,41(1916) pp. 119-196.
Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Funciones de Chebyshev" . MathWorld .
"Función sumatoria de Mangoldt" . PlanetMath .
"Funciones de Chebyshev" . PlanetMath .
Fórmula explícita de Riemann , con imágenes y películas