En la geometría de Riemann , la constante isoperimétrica de Cheeger de una variedad compacta de Riemann M es un número real positivo h ( M ) definido en términos del área mínima de una hipersuperficie que divide M en dos piezas disjuntas. En 1970, Jeff Cheeger demostró una desigualdad que relacionaba el primer valor propio no trivial del operador de Laplace-Beltrami en M con h ( M ). Esta resultó ser una idea muy influyente en la geometría y el análisis global de Riemann.e inspiró una teoría análoga para los gráficos .
Definición
Sea M una variedad riemanniana cerrada n- dimensional . Sea V ( A ) el volumen de una subvariedad A n -dimensional y S ( E ) el volumen n −1-dimensional de una subvariedad E (comúnmente llamada "área" en este contexto). La constante isoperimétrica de Cheeger de M se define como
donde el mínimo se toma sobre todas las subvariedades E de M suaves de n -1 dimensión que lo dividen en dos subvariedades A y B disjuntas . La constante isoperimétrica puede definirse de manera más general para variedades de Riemannian no compactas de volumen finito.
La desigualdad de Cheeger
La constante de Cheeger h ( M ) yel valor propio positivo más pequeño del laplaciano en M , están relacionados por la siguiente desigualdad fundamental probada por Jeff Cheeger :
Esta desigualdad es óptima en el siguiente sentido: para cualquier h > 0, número natural k y ε > 0, existe una variedad Riemanniana bidimensional M con la constante isoperimétrica h ( M ) = h y tal que el k el valor propio de el Laplaciano está dentro de ε desde el límite de Cheeger (Buser, 1978).
La desigualdad de Buser
Peter Buser demostró ser un límite superior para en términos de la constante isoperimétrica h ( M ). Sea M una variedad riemanniana cerrada n- dimensional cuya curvatura de Ricci está acotada por debajo por - ( n −1) a 2 , donde a ≥ 0. Entonces
Ver también
Referencias
- Buser, Peter (1982). "Una nota sobre la constante isoperimétrica" . Ana. Sci. Norma de la École. Sorber. (4) . 15 (2): 213–230. Señor 0683635 .
- Buser, Peter (1978). "Über eine Ungleichung von Cheeger" [Sobre una desigualdad de Cheeger]. Matemáticas. Z. (en alemán). 158 (3): 245–252. doi : 10.1007 / BF01214795 . Señor 0478248 .
- Cheeger, Jeff (1970). "Un límite inferior para el valor propio más pequeño del Laplacian". En Gunning, Robert C. (ed.). Problemas de análisis (Artículos dedicados a Salomon Bochner , 1969) . Princeton, Nueva Jersey: Universidad de Princeton. Prensa. págs. 195-199. Señor 0402831 .
- Lubotzky, Alexander (1994). Grupos discretos, gráficas en expansión y medidas invariantes . Clásicos modernos de Birkhäuser. Con un apéndice de Jonathan D. Rogawski. Basilea: Birkhäuser Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-0346-0332-4 . ISBN 978-3-0346-0331-7. Señor 2569682 .