Un modelo de vértice es un tipo de modelo de mecánica estadística en el que los pesos de Boltzmann están asociados con un vértice en el modelo (que representa un átomo o una partícula). [1] [2] Esto contrasta con un modelo de vecino más cercano, como el modelo de Ising , en el que la energía, y por lo tanto el peso de Boltzmann de un microestado estadístico se atribuye a los enlaces que conectan dos partículas vecinas. La energía asociada con un vértice en la red de partículas depende, por tanto, del estado de los enlaces que lo conectan con los vértices adyacentes. Resulta que cada solución de la ecuación de Yang-Baxtercon parámetros espectrales en un producto tensorial de espacios vectoriales produce un modelo de vértice exactamente resoluble.
Aunque el modelo se puede aplicar a varias geometrías en cualquier número de dimensiones, con cualquier número de estados posibles para un enlace dado, los ejemplos más fundamentales ocurren para retículas bidimensionales, siendo el más simple un retículo cuadrado donde cada enlace tiene dos estados posibles. En este modelo, cada partícula está conectada a otras cuatro partículas, y cada uno de los cuatro enlaces adyacentes a la partícula tiene dos estados posibles, indicados por la dirección de una flecha en el enlace. En este modelo, cada vértice puede adoptarposibles configuraciones. La energía para un vértice dado puede estar dada por,
con un estado de la celosía es una asignación de un estado de cada enlace, siendo la energía total del estado la suma de las energías de los vértices. Como la energía es a menudo divergente para un retículo infinito, el modelo se estudia para un retículo finito cuando el retículo se acerca al tamaño infinito. Se pueden imponer al modelo condiciones de contorno periódicas o de muro de dominio [3] .
Discusión
Para un estado dado de la celosía, el peso de Boltzmann se puede escribir como el producto sobre los vértices de los pesos de Boltzmann de los estados de vértice correspondientes
donde se escriben los pesos de Boltzmann para los vértices
- ,
y el rango i , j , k , l sobre los posibles estados de cada uno de los cuatro bordes adjuntos al vértice. Los estados de vértice de los vértices adyacentes deben satisfacer las condiciones de compatibilidad a lo largo de los bordes de conexión (enlaces) para que el estado sea admisible.
La probabilidad de que el sistema esté en cualquier estado dado en un momento particular y, por lo tanto, las propiedades del sistema están determinadas por la función de partición , para la cual se desea una forma analítica.
donde β = 1 / kT , T es la temperatura y k es la constante de Boltzmann . La probabilidad de que el sistema se encuentre en cualquier estado ( microestado ) viene dada por
de modo que el valor medio de la energía del sistema viene dado por
Para evaluar la función de partición, primero examine los estados de una fila de vértices.
Los bordes externos son variables libres, con suma sobre los enlaces internos. Por lo tanto, forme la función de partición de fila
Esto se puede reformular en términos de un espacio vectorial auxiliar n- dimensional V , con una base , y como
y como
lo que implica que T puede escribirse como
donde los índices indican los factores del producto tensorial sobre el que opera R. Sumando los estados de los enlaces en la primera fila con las condiciones de contorno periódicas, da
dónde es la matriz de transferencia de filas.
Sumando las contribuciones de más de dos filas, el resultado es
que al sumar los enlaces verticales que conectan las dos primeras filas da:
para M filas, esto da
y luego aplicando las condiciones de contorno periódicas a las columnas verticales, la función de partición se puede expresar en términos de la matriz de transferencia como
dónde es el mayor valor propio de. La aproximación se sigue del hecho de que los valores propios de son los valores propios de al poder de M , y como, el poder del valor propio más grande se vuelve mucho mayor que el de los demás. Como la traza es la suma de los valores propios, el problema de calcular se reduce al problema de encontrar el valor propio máximo de . Esto en sí mismo es otro campo de estudio. Sin embargo, un enfoque estándar para el problema de encontrar el valor propio más grande de es encontrar una gran familia de operadores que se desplacen con . Esto implica que los espacios propios son comunes y restringe el posible espacio de soluciones. Esta familia de operadores de conmutación se suele encontrar mediante la ecuación de Yang-Baxter , que relaciona así la mecánica estadística con el estudio de grupos cuánticos .
Integrabilidad
Definición : Un modelo de vértice es integrable si, tal que
Ésta es una versión parametrizada de la ecuación de Yang-Baxter, correspondiente a la posible dependencia de las energías de los vértices, y por lo tanto la ponderación de Boltzmann R sobre parámetros externos, como temperatura, campos externos, etc.
La condición de integrabilidad implica la siguiente relación.
Proposición : Para un modelo de vértice integrable, con y definido como arriba, entonces
como endomorfismos de, dónde actúa sobre los dos primeros vectores del producto tensorial.
Sigue multiplicando ambos lados de la ecuación anterior a la derecha por y el uso de la propiedad cíclica del operador de seguimiento que se mantiene en el siguiente corolario.
Corolario : Para un modelo de vértice integrable para el cual es invertible , la matriz de transferencia viaja con .
Esto ilustra el papel de la ecuación de Yang-Baxter en la solución de modelos de celosía solubles. Dado que las matrices de transferencia viaje diario para todos , los autovectores de son comunes y, por tanto, independientes de la parametrización. Es un tema recurrente que aparece en muchos otros tipos de modelos mecánicos estadísticos para buscar estas matrices de transferencia de conmutación.
De la definición de R anterior, se deduce que para cada solución de la ecuación de Yang-Baxter en el producto tensorial de dos espacios vectoriales n -dimensionales, existe un modelo de vértice solucionable bidimensional correspondiente donde cada uno de los enlaces puede estar en el estados posibles, donde R es un endomorfismo en el espacio abarcado por. Esto motiva la clasificación de todas las representaciones irreductibles de dimensión finita de un álgebra cuántica dada para encontrar modelos solubles que le correspondan.
Modelos de vértices notables
Referencias
- ^ RJ Baxter, Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
- ^ V. Chari y AN Pressley, Guía de grupos cuánticos Cambridge University Press, 1994
- ^ VE Korepin et al., Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación , Nueva York, Press Syndicate de la Universidad de Cambridge, 1993
- ^ AG Izergin y VE Korepin, El enfoque del método de dispersión inversa para el modelo cuántico de Shabat-Mikhailov. Comunicaciones en física matemática , 79 , 303 (1981)