En matemáticas, una función cardinal (o invariante cardinal ) es una función que devuelve números cardinales .
Funciones cardinales en la teoría de conjuntos
- La función cardinal utilizada con más frecuencia es una función que asigna a un conjunto A su cardinalidad , denotada por | A |.
- Los números de Aleph y los números de beth pueden verse como funciones cardinales definidas en números ordinales .
- Las operaciones aritméticas cardinales son ejemplos de funciones desde números cardinales (o pares de ellos) hasta números cardinales.
- Las características cardinales de un ideal (propio) I de subconjuntos de X son:
- La "adición" de que es el menor número de conjuntos de I cuya unión no está en lo más. Como cualquier ideal está cerrado bajo uniones finitas, este número siempre es al menos ; si yo es un ideal σ, entonces
- El "número cubriendo" de que es el menor número de conjuntos de I cuya unión es todo de X . Como X en sí no está en I , debemos agregar ( I ) ≤ cov ( I ).
- El "número de uniformidad" de I (a veces también escrito ) Es el tamaño del conjunto más pequeño no en I . Suponiendo que contenga todos los singletons, agregue ( I ) ≤ non ( I ).
- La "cofinalidad" de I es la cofinalidad del orden parcial ( I , ⊆). Es fácil ver que debemos tener non ( I ) ≤ cof ( I ) y cov ( I ) ≤ cof ( I ).
- En el caso de que es un ideal estrechamente relacionado con la estructura de los reales, como el ideal de conjuntos nulos de Lebesgue o el ideal de conjuntos magros , estos invariantes cardinales se denominan características cardinales del continuo .
- Para un set preordenado el número delimitador y número dominante se definen como
- En la teoría PCF, la función cardinalse utiliza. [1]
Funciones cardinales en topología
Las funciones cardinales se utilizan ampliamente en topología como una herramienta para describir varias propiedades topológicas . [2] [3] A continuación se muestran algunos ejemplos. (Nota: algunos autores, argumentando que "no hay números cardinales finitos en la topología general ", [4] prefieren definir las funciones cardinales enumeradas a continuación para que nunca tomen números cardinales finitos como valores; esto requiere modificar algunas de las definiciones dado a continuación, por ejemplo, agregando ""al lado derecho de las definiciones, etc.)
- Quizás los invariantes cardinales más simples de un espacio topológico X son su cardinalidad y la cardinalidad de su topología, denotados respectivamente por | X | y O ( X ).
- El peso w ( X ) de un espacio topológico X es la cardinalidad de las más pequeñas de base para X . Cuando w ( X ) =se dice que el espacio X es el segundo contable .
- La -peso de un espacio X es la cardinalidad del más pequeño-Base para X . (A-base es un conjunto de aperturas no vacías cuyos superconjuntos incluyen todas las aperturas).
- El peso de la red NW ( X ) de X es la cardinalidad más pequeña de una red para X . Una red es una familiade conjuntos, para los cuales, para todos los puntos xy los vecindarios abiertos U que contienen x , existe B enpara los que x ∈ B ⊆ U .
- El carácter de un espacio topológico X en un punto x es la cardinalidad de la base local más pequeña para x . El carácter del espacio X es
Cuándo se dice que el espacio X es el primero en ser contable . - La densidad d ( X ) de un espacio X es la cardinalidad del más pequeño subconjunto denso de X . Cuándose dice que el espacio X es separable .
- El número de Lindelöf L ( X ) de un espacio X es la cardinalidad infinita más pequeña, de modo que cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad no mayor que L ( X ). Cuándose dice que el espacio X es un espacio de Lindelöf .
- La celularidad o número de Suslin de un espacio X es
- La celularidad hereditaria (a veces diseminada ) es el límite superior mínimo de celularidades de sus subconjuntos:
o con la topología subespacial es discreta.
- La celularidad hereditaria (a veces diseminada ) es el límite superior mínimo de celularidades de sus subconjuntos:
- La extensión de un espacio X es
- .
- Entonces, X tiene una extensión contable exactamente cuando no tiene un subconjunto discreto cerrado incontable.
- La estanqueidad t ( x , X ) de un espacio topológico X en un punto es el número cardinal más pequeño tal que, siempre que para algún subconjunto Y de X , existe un subconjunto Z de Y , con | Z | ≤, tal que . Simbólicamente,
La estanqueidad de un espacio X es. Cuando t (X) =se dice que el espacio X se genera de forma contable o de forma contable estrecha . - La estanqueidad aumentada de un espacio X ,es el cardenal regular más pequeño tal que para cualquier , hay un subconjunto Z de Y con cardinalidad menor que, tal que .
Desigualdades básicas
- c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ w ( X ) ≤ o ( X ) ≤ 2 | X |
- ( X ) ≤ w ( X )
- nw ( X ) ≤ w ( X ) yo ( X ) ≤ 2 nw ( X )
Funciones cardinales en álgebras de Boole
Las funciones cardinales se utilizan a menudo en el estudio de álgebras de Boole . [5] [6] Podemos mencionar, por ejemplo, las siguientes funciones:
- Celularidad de un álgebra de Boole es el supremo de las cardinalidades de antichains en.
- Largo de un álgebra de Boole es
- es una cadena
- Profundidad de un álgebra de Boole es
- es un subconjunto bien ordenado.
- Incompatibilidad de un álgebra de Boole es
- tal que .
- Pseudopeso de un álgebra de Boole es
- tal que
Funciones cardinales en álgebra
Ejemplos de funciones cardinales en álgebra son:
- El índice de un subgrupo H de G es el número de clases laterales .
- Dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K es la cardinalidad de cualquier base de Hamel de V .
- De manera más general, para un módulo gratuito M sobre un anillo R definimos rango como la cardinalidad de cualquier base de este módulo.
- Para un subespacio lineal W de un espacio vectorial V , definimos la codimensión de W (con respecto a V ).
- Para cualquier estructura algebraica es posible considerar la cardinalidad mínima de los generadores de la estructura.
- Para las extensiones algebraicas , a menudo se emplean el grado algebraico y el grado separable (observe que el grado algebraico es igual a la dimensión de la extensión como un espacio vectorial sobre el campo más pequeño).
- Para extensiones de campo no algebraicas , también se usa el grado de trascendencia .
enlaces externos
- Un glosario de definiciones de topología general [1] [2]
Ver también
- Diagrama de Cichoń
Referencias
- ^ Holz, Michael; Steffens, Karsten; Weitz, Edmund (1999). Introducción a la aritmética cardinal . Birkhäuser. ISBN 3764361247.
- ^ Juhász, István (1979). Funciones cardinales en topología (PDF) . Matemáticas. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-062-2.
- ^ Juhász, István (1980). Funciones cardinales en topología: diez años después (PDF) . Matemáticas. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3. Archivado desde el original (PDF) el 17 de marzo de 2014 . Consultado el 30 de junio de 2012 .
- ^ Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemáticas Puras. 6 (Ed. Revisada). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.
- ^ Monk, J. Donald: Funciones cardinales en álgebras de Boole . "Conferencias de Matemáticas ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basilea, 1990. ISBN 3-7643-2495-3 .
- ^ Monk, J. Donald: invariantes cardinales en álgebras de Boole . "Progreso en matemáticas", 142. Birkhäuser Verlag, Basilea, ISBN 3-7643-5402-X .
- Jech, Thomas (2003). Establecer teoría . Springer Monographs in Mathematics (Tercer milenio ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002 .