En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , una característica cardinal del continuo es un número cardinal infinito que puede estar consistentemente estrictamente entre(la cardinalidad del conjunto de números naturales ), y la cardinalidad del continuo , es decir, la cardinalidad del conjuntode todos los números reales . Este último cardenal se denota o . Una variedad de tales características cardinales surgen naturalmente, y se ha trabajado mucho para determinar qué relaciones entre ellas son probables y construir modelos de teoría de conjuntos para varias configuraciones consistentes de ellas.
Fondo
El argumento diagonal de Cantor muestra que es estrictamente mayor que , pero no especifica si es el menos cardinal mayor que (es decir, ). De hecho, la suposición de quees la conocida Hipótesis Continuum , que Paul Cohen demostró ser independiente de los axiomas estándar de ZFC para la teoría de conjuntos . Si la Hiptesis del Continuum falla y as Por lo menos , surgen preguntas naturales sobre los cardenales estrictamente entre y , por ejemplo con respecto a la mensurabilidad de Lebesgue. Al considerar el menos cardinal con alguna propiedad, uno puede obtener una definición para un cardenal incontable que es consistentemente menor que. Generalmente, solo se consideran definiciones para cardenales que son probablemente mayores que y como mucho como características cardinales del continuo, por lo que si la hipótesis del continuo se sostiene, todas son iguales a .
Ejemplos de
Como es estándar en la teoría de conjuntos, denotamos por el ordinal menos infinito , que tiene cardinalidad; puede identificarse con el conjunto de todos los números naturales.
Varias características cardinales surgen naturalmente como invariantes cardinales para ideales que están estrechamente relacionados con la estructura de los reales, como el ideal de los conjuntos nulos de Lebesgue y el ideal de los conjuntos magros .
no (N)
La característica cardinal non () es la cardinalidad mínima de un conjunto no medible ; de forma equivalente, es la cardinalidad mínima de un conjunto que no es un conjunto nulo de Lebesgue .
Número delimitador y número dominante
Denotamos por el conjunto de funciones de a . Para dos funciones cualesquiera y denotamos por la afirmación de que para todos menos para un número finito . El número delimitador es la menor cardinalidad de un conjunto ilimitado en esta relación, es decir,
El numero dominante es la menor cardinalidad de un conjunto de funciones de a tal que cada función de este tipo está dominada por (es decir, ) un miembro de ese conjunto, es decir,
Claramente, cualquier conjunto tan dominante es ilimitado, entonces es como máximo , y un argumento de diagonalización muestra que . Por supuesto si esto implica que , pero Hechler [1] ha demostrado que también es consistente tener estrictamente menos que .
Número de división y número de cosecha
Denotamos por el conjunto de todos los subconjuntos infinitos de . Para cualquier, Nosotros decimos eso divisiones si ambos y son infinitos. El número de división es la menor cardinalidad de un subconjunto de tal que para todos , hay algunos tal que divisiones . Es decir,
El número de la cosecha es la menor cardinalidad de un subconjunto de tal que ningún elemento de divide cada elemento de . Es decir,
Número de ultrafiltro
El número de ultrafiltro se define como la cardinalidad mínima de una base de filtro de un ultrafiltro no principal en. Kunen [2] dio un modelo de teoría de conjuntos en el que pero , y utilizando una iteración de soporte contable de forzamientos de Sacks , Baumgartner y Laver [3] construyeron un modelo en el que y .
Casi número de desarticulaciones
Dos subconjuntos y de se dice que son [casi inconexos] si es finito, y una familia de subconjuntos de se dice que es casi disjunto si sus miembros son casi disjuntos por pares. Una familia máxima casi disjunta (loca) de subconjuntos de es así una familia casi disjunta tal que para cada subconjunto de no en , hay un conjunto tal que y no son casi disjuntos (es decir, su intersección es infinita). El número de casi disonanciaes la menor cardinalidad de una familia infinita máxima casi disjunta. Un resultado básico [4] es que; Shelah [5] demostró que es consistente tener la desigualdad estricta.
Diagrama de Cichoń
Un diagrama bien conocido de características cardinales es el diagrama de Cichoń, que muestra todas las relaciones por pares demostrables en ZFC entre 10 características cardinales.
Referencias
- ^ Stephen Hechler. Sobre la existencia de ciertos subconjuntos cofinales de. En T. Jech (ed.), Teoría de conjuntos axiomáticos, Parte II. Volumen 13 (2) del Proc. Symp. Matemática pura. , págs. 155-173. Sociedad Americana de Matemáticas, 1974
- ^ Kenneth Kunen . Teoría de conjuntos Una introducción a las pruebas de independencia . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas vol. 102, Elsevier, 1980
- ^ James Earl Baumgartner y Richard Laver . Forzamiento repetido de fraguado perfecto. Annals of Mathematical Logic 17 (1979) págs. 271–288.
- ^ Eric van Douwen . Los enteros y la topología. En K. Kunen y JE Vaughan (eds) Handbook of Set-Theoretic Topology. Holanda Septentrional, Amsterdam, 1984.
- ^ Saharon Shelah . Sobre invariantes cardinales del continuo. En J. Baumgartner, D. Martin y S. Shelah (eds) Axiomatic Set Theory , Contemporary Mathematics 31, American Mathematical Society, 1984, pp 183-207.
Otras lecturas
- Tomek Bartoszyński y Haim Judah. Establecer la teoría sobre la estructura de la línea real . AK Peters, 1995.
- Vaughan, Jerry E. (1990). "Capítulo 11: Pequeños cardenales incontables y topología". En van Mill, Jan; Reed, George M. (eds.). Problemas abiertos en topología (PDF) . Amsterdam: Compañía editorial de Holanda Septentrional . págs. 196–218 . ISBN 0-444-88768-7. Consultado el 5 de diciembre de 2011 .
- Blass, Andreas (12 de enero de 2010). "Capítulo 6: Características cardinales combinatorias del continuo". En Foreman, Matthew ; Kanamori, Akihiro (eds.). Manual de teoría de conjuntos (PDF) . 1 . Springer . págs. 395–490. ISBN 1-4020-4843-2. Consultado el 5 de diciembre de 2011 .
- Bartoszyński, Tomek (12 de enero de 2010). "Capítulo 7: Invariantes de medida y categoría". En Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (eds.). Manual de teoría de conjuntos . 1 . Saltador. págs. 491–556. arXiv : matemáticas.LO / 9910015 . ISBN 1-4020-4843-2.
- Jech, Thomas (2003). Establecer teoría . Springer Monographs in Mathematics (Tercer milenio ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002 .
- Halbeisen, Lorenz J. (2012). Teoría combinatoria de conjuntos: con una suave introducción al forzamiento . Springer Monografías en Matemáticas. Londres: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-1-4471-2173-2 . ISBN 978-1-4471-2172-5.