En los campos matemáticos de la topología general y la teoría descriptiva de conjuntos , un conjunto escaso (también llamado conjunto escaso o un conjunto de primera categoría ) es un conjunto que, considerado como un subconjunto de un espacio topológico (generalmente más grande) , se encuentra en un preciso sentido pequeño o insignificante . Un espacio topológico T se llama exiguo si es un subconjunto exiguo de sí mismo; de lo contrario, se llama nonmeagre .
Los exiguos subconjuntos de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos; Es decir, cualquier subconjunto de un conjunto magro es magro, y la unión de numerable muchos conjuntos magros es escasa. Los topólogos generales usan el término espacio de Baire para referirse a una amplia clase de espacios topológicos en los que la noción de conjunto exiguo no es trivial (en particular, el espacio completo no es exiguo). Los teóricos de conjuntos descriptivos estudian principalmente conjuntos magros como subconjuntos de los números reales , o más generalmente cualquier espacio polaco , y reservan el término espacio de Baire para un espacio polaco en particular.
El complemento de un conjunto magro es un conjunto de comeagre o conjunto residual . Un conjunto que no es escaso se llama nonmeagre y se dice que pertenece a la segunda categoría . Tenga en cuenta que las nociones de un conjunto de comeagre y un conjunto que no es de meseta no son equivalentes.
Definición
En todo momento, X será un espacio topológico.
Un subconjunto B de un espacio topológico X se denomina en ninguna parte denso o raro en X si su cierre tiene un interior vacío . De manera equivalente, B no es denso en ninguna parte en X si para cada conjunto abierto el conjunto No se densos en U .
Tenga en cuenta que un subconjunto cerrado de X no es denso en ninguna parte si y solo si su interior en X está vacío.
Un subconjunto de un espacio topológico X se dice que es pobre en X , un sub magro conjunto de X , o de la primera categoría en X si se trata de una unión contable de la nada densas subconjuntos de X . Un subconjunto es de la segunda categoría o nonmeagre en X si no es de primera categoría en X .
Un espacio topológico se llama magro (resp. Nonmeagre ) si es un subconjunto magro (resp. Nonmeagre) de sí mismo.
- Advertencia : Si S es un subconjunto de X a continuación, cuando se dice que S es un magro sub espacio de X a continuación, nos referimos a que cuando S está dotado de la topología del subespacio (inducida por X ), entonces S es un espacio topológico escasa (es decir, S es un escaso subconjunto de S ). Por el contrario, si decimos que S es un sub magro conjunto de X a continuación, nos referimos a que es igual a una unión contable de la nada densas subconjuntos de X . Lo mismo se aplica a subconjuntos y subespacios no exiguos.
Un subconjunto A de X se comeagre en X si su complemento es escasa en X . De manera equivalente, es la intersección de innumerables conjuntos con interiores densos.
Es importante destacar que ser de la segunda categoría no es lo mismo que ser comeagre: un conjunto no puede ser ni magro ni comeagre (en este caso será de segunda categoría).
Ejemplos y condiciones suficientes
Sea T un espacio topológico.
Exiguo sub conjuntos y sub espacios
- Un conjunto singleton es siempre un subespacio no exiguo (es decir, es un espacio topológico no exiguo). Si es un punto aislado, también es un subconjunto no exiguo; lo contrario se cumple en un espacio T 1 .
- Cualquier subconjunto de un conjunto escaso es un conjunto escaso. [1]
- Cada subconjunto denso de ninguna parte es un conjunto escaso. [1]
- La unión de innumerables conjuntos exiguos es también un conjunto exiguo. [1]
- Un espacio contable de Hausdorff sin puntos aislados es escaso. [2]
- Cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado no es exiguo. [2]
- Cualquier espacio discreto no es exiguo. [2]
- Cada espacio de Baire no es exiguo, pero existen espacios no exiguos que no son espacios de Baire. [2]
- Dado que los espacios métricos completos , así como los espacios compactos localmente de Hausdorff son espacios de Baire, también son espacios no exiguos.
- El conjunto está un magro sub conjunto de aunque es un sub no escaso espacio (es decir,no es un espacio topológico exiguo). [2]
- Debido a que los números racionales son contables, son escasos como un subconjunto de los reales y como un espacio, es decir, no forman un espacio de Baire .
- El conjunto de Cantor es escaso como un subconjunto de los reales, pero no como un subconjunto de sí mismo, ya que es un espacio métrico completo y, por lo tanto, es un espacio de Baire , según el teorema de la categoría de Baire .
- Si es un homeomorfismo, entonces un subconjunto S de X es escaso si y solo sies escaso. [1]
Subconjunto de comeagre
- Cualquier superconjunto de un conjunto de comeagre es comeagre
- la intersección de innumerables conjuntos de comeagre es comeagre.
- Esto se deriva del hecho de que una unión contable de conjuntos contables es contable.
Espacios funcionales
- El conjunto de funciones que tienen una derivada en algún punto es un conjunto magro en el espacio de todas las funciones continuas . [3]
Propiedades
- Teorema de la categoría de Banach: En cualquier espacio X , la unión de cualquier familia contable de conjuntos abiertos de la primera categoría es de la primera categoría. [4]
- Un espacio vectorial topológico localmente convexo no exiguo es un espacio en barril . [2]
Escasos subconjuntos y medida de Lebesgue
Un conjunto magro no necesita tener medida cero. No existen subconjuntos densos en ninguna parte (que son, por lo tanto, subconjuntos escasos) que tengan una medida de Lebesgue positiva . [2]
Relación con la jerarquía de Borel
Así como un subconjunto denso en ninguna parte no necesita estar cerrado, pero siempre está contenido en un subconjunto denso en ninguna parte cerrado (es decir, su cierre), un conjunto escaso no necesita ser un conjunto F σ (unión contable de conjuntos cerrados), sino que siempre está contenido en un conjunto F σ hecho a partir de conjuntos densos en ninguna parte (tomando el cierre de cada conjunto).
Doblemente, así como el complemento de un conjunto denso en ninguna parte no necesita estar abierto, sino que tiene un interior denso (contiene un conjunto abierto denso), un conjunto comeagre no necesita ser un conjunto G δ (intersección contable de conjuntos abiertos ), pero contiene un conjunto Conjunto denso G δ formado a partir de conjuntos abiertos densos.
Juego de Banach – Mazur
Los conjuntos magros tienen una caracterización alternativa útil en términos del juego Banach-Mazur . Sea Z un espacio topológico,ser una familia de subconjuntos de Z que tienen interiores no vacíos de modo que cada conjunto abierto no vacío tiene un subconjunto perteneciente ay Z ser cualquier subconjunto de Z . Luego hay un juego de Banach-Mazur correspondiente aEn el juego Banach-Mazur, dos jugadores, P y Q , eligen alternativamente elementos sucesivamente más pequeños de para producir una secuencia El jugador P gana si la intersección de esta secuencia contiene un punto en X ; de lo contrario, el jugador Q gana.
- Teorema : para cualquier cumpliendo los criterios anteriores, el jugador Q tiene una estrategia ganadora si y solo si X es escaso.
Ver también
- Teorema de la categoría de Baire : en espacios topológicos donde la intersección de innumerables conjuntos abiertos densos es densa
- Espacio Baire
- Propiedad genérica , para análogos a residual
- Conjunto insignificante , de análogos a magro
- Conjunto denso en ninguna parte
- Propiedad de Baire
Notas
- ↑ a b c d Rudin , 1991 , pág. 43.
- ↑ a b c d e f g Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 371-423.
- ^ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen" . Studia Math . 3 (1): 174-179.
- ^ Oxtoby, John C. (1980). "El teorema de la categoría de Banach" . Medida y categoría (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
Bibliografía
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
enlaces externos
- ¿Hay un conjunto de medidas a cero que no sea exiguo?