En matemáticas , la transformada de Hartley ( HT ) es una transformada integral estrechamente relacionada con la transformada de Fourier (FT), pero que transforma funciones de valor real en funciones de valor real. Fue propuesto como una alternativa a la transformada de Fourier por Ralph VL Hartley en 1942, [1] y es una de las muchas transformadas conocidas relacionadas con Fourier . En comparación con la transformada de Fourier, el Hartley transformar tiene las ventajas de la transformación reales funciones a las funciones reales (en oposición a la exigencia de los números complejos ) y de ser su propio inverso.
La versión discreta de la transformada, la transformada discreta de Hartley (DHT), fue introducida por Ronald N. Bracewell en 1983. [2]
La transformada de Hartley bidimensional se puede calcular mediante un proceso óptico analógico similar a una transformada óptica de Fourier (OFT), con la ventaja propuesta de que solo es necesario determinar su amplitud y signo en lugar de su fase compleja. [3] Sin embargo, las transformadas ópticas de Hartley no parecen haber tenido un uso generalizado.
Definición
La transformada de Hartley de una función es definido por:
dónde en aplicaciones puede ser una frecuencia angular y
es el coseno y el seno (cas) o kernel de Hartley . En términos de ingeniería, esta transformación toma una señal (función) del dominio del tiempo al dominio espectral de Hartley (dominio de la frecuencia).
Transformada inversa
La transformada de Hartley tiene la conveniente propiedad de ser su propia inversa (una involución ):
Convenciones
Lo anterior está de acuerdo con la definición original de Hartley, pero (como con la transformada de Fourier) varios detalles menores son cuestiones de convención y se pueden cambiar sin alterar las propiedades esenciales:
- En lugar de usar la misma transformación para avance e inverso, se puede eliminar el desde el futuro transformar y usar para la inversa, o, de hecho, cualquier par de normalizaciones cuyo producto sea . (Estas normalizaciones asimétricas a veces se encuentran tanto en contextos puramente matemáticos como de ingeniería).
- También se puede usar en vez de (es decir, frecuencia en lugar de frecuencia angular), en cuyo caso la El coeficiente se omite por completo.
- Uno puede usar en vez de como el kernel.
Relación con la transformada de Fourier
Esta transformada difiere de la transformada de Fourier clásica en la elección del kernel. En la transformada de Fourier, tenemos el núcleo exponencial: dónde es la unidad imaginaria .
Sin embargo, las dos transformadas están estrechamente relacionadas y la transformada de Fourier (asumiendo que usa el mismo convención de normalización) se puede calcular a partir de la transformada de Hartley a través de:
Es decir, las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier vienen dadas simplemente por las partes pares e impares de la transformada de Hartley, respectivamente.
Por el contrario, para las funciones de valor real f ( t ), la transformada de Hartley se obtiene a partir de las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier:
dónde y denotar las partes reales e imaginarias de la compleja transformada de Fourier.
Propiedades
La transformada de Hartley es un operador lineal real y es simétrica (y hermitiana ). De las propiedades simétricas y autoinversas, se deduce que la transformada es un operador unitario (de hecho, ortogonal ).
También hay un análogo del teorema de convolución para la transformada de Hartley. Si dos funciones y hacer que Hartley se transforme y , respectivamente, entonces su convolución tiene la transformada de Hartley [ cita requerida ] :
Similar a la transformada de Fourier, la transformada de Hartley de una función par / impar es par / impar, respectivamente.
cas
Las propiedades del kernel de Hartley , para las cuales Hartley introdujo el nombre cas para la función (de coseno y seno ) en 1942, [1] [4] se derivan directamente de la trigonometría , y su definición como una función trigonométrica con desplazamiento de fase.. Por ejemplo, tiene una identidad de suma de ángulos de:
Adicionalmente:
y su derivada viene dada por:
Ver también
Referencias
- ↑ a b Hartley, Ralph VL (marzo de 1942). "Un análisis de Fourier más simétrico aplicado a problemas de transmisión" . Actas de la IRE . 30 (3): 144-150. doi : 10.1109 / JRPROC.1942.234333 . S2CID 51644127 .
- ^ Bracewell, Ronald N. (1983). "Transformada discreta de Hartley". Revista de la Optical Society of America . 73 (12): 1832–1835. doi : 10.1364 / JOSA.73.001832 .
- ^ Villasenor, John D. (1994). "Optical Hartley transforma". Actas del IEEE . 82 (3): 391–399. doi : 10.1109 / 5.272144 .
- ^ Bracewell, Ronald N. (junio de 1999) [1985, 1978, 1965]. La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3 ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07303938-1. (Nota: la segunda edición también se tradujo al japonés y al polaco).
- Bracewell, Ronald N. (1986). Escrito en Stanford, California, EE. UU. La transformación de Hartley . Serie de Ciencias de la Ingeniería de Oxford. 19 (1 ed.). Nueva York, NY, EE. UU .: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6. (NB. También traducido al alemán y al ruso).
- Bracewell, Ronald N. (1994). "Aspectos de la transformación de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 381–387. doi : 10.1109 / 5.272142 .
- Millane, Rick P. (1994). "Propiedades analíticas de la transformada de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 413–428. doi : 10.1109 / 5.272146 .
Otras lecturas
- Olnejniczak, Kraig J .; Heydt, Gerald T., eds. (Marzo de 1994). "Escaneo de la sección especial sobre la transformación de Hartley" . Número especial sobre la transformación de Hartley . Actas del IEEE . 82 . págs. 372–380 . Consultado el 31 de octubre de 2017 . (NB. Contiene una extensa bibliografía).