En geometría diferencial clásica , la relación de Clairaut , llamada así por Alexis Claude de Clairaut , es una fórmula que establece que el producto r × cos ( θ ) es constante en una esfera unitaria ,
donde r ( t ) es la distancia desde un punto en un círculo máximo al eje z , y θ ( t ) es el ángulo entre el vector tangente y el círculo latitudinal . La relación sigue siendo válida para una geodésica en una superficie arbitraria de revolución .
Un enunciado matemático formal de la relación de Clairaut es: [1]
Let γ ser un geodésica sobre una superficie de revolución S , dejar que ρ sea la distancia de un punto de S desde el eje de rotación , y dejar que ψ ser el ángulo entre γ y los meridianos de S . Entonces ρ sen ψ es constante a lo largo de γ. Por el contrario, si ρ sen ψ es constante a lo largo de alguna curva γ en la superficie, y si ninguna parte de γ es parte de algún paralelo de S , entonces γ es una geodésica.
- Andrew Pressley: Geometría diferencial elemental , p. 183
Pressley (p. 185) explica este teorema como una expresión de conservación del momento angular alrededor del eje de revolución cuando una partícula se desliza a lo largo de una geodésica sin otras fuerzas que las que la mantienen en la superficie.
Referencias
- M. do Carmo , Geometría diferencial de curvas y superficies , página 257.
- ^ Andrew Pressley (2001). Geometría diferencial elemental . Saltador. pag. 183. ISBN 1-85233-152-6.