La lógica de clases es una lógica en su sentido amplio, cuyos objetos se denominan clases. En un sentido más estricto, se habla de una lógica de clase solo si las clases se describen por una propiedad de sus elementos. Esta lógica de clases es, por tanto, una generalización de la teoría de conjuntos , que sólo permite una consideración limitada de clases.
Lógica de clase en sentido estricto
La lógica de primera clase en sentido estricto fue creada por Giuseppe Peano en 1889 como base para su aritmética ( Peano Axioms ). Introdujo el término de clase, que formalmente describe correctamente las clases a través de una propiedad de sus elementos. Hoy en día, el término de clase se denota en la forma {x | A (x)}, donde A (x) es una declaración arbitraria, que todos los miembros de la clase x cumplen. Peano axiomatizó el término de clase por primera vez y lo utilizó plenamente. Gottlob Frege también intentó establecer la lógica aritmética con términos de clase en 1893; Bertrand Russell descubrió un conflicto en 1902 que se conoció como la paradoja de Russell . Como resultado, se dio a conocer de forma generalizada que no se pueden utilizar términos de clase de forma segura.
Para resolver el problema, Russell desarrolló su teoría de tipos desde 1903 hasta 1908, que solo permitía un uso restringido de términos de clase. Entre los matemáticos, la teoría de tipos de Russell fue reemplazada por una axiomatización alternativa de la teoría de conjuntos iniciada por Ernst Zermelo [ aclaración necesaria ] . Esta axiomatización no es una lógica de clase en el sentido más estricto, porque en su forma actual (Zermelo-Fraenkel o NBG) no axiomatiza el término de clase, sino que lo usa solo en la práctica como una notación útil. Willard Van Orman Quine describió una teoría de conjuntos Nuevos Fundamentos (NF) en 1937, basada en una teoría de tipos que pretendía ser una alternativa a Zermelo-Fraenkel. En 1940, Quine avanzó NF a Lógica Matemática (ML). Dado que la antinomia de Burali-Forti se derivó en la primera versión de ML, [1] Quine aclaró ML, conservando el uso generalizado de clases, y tomó una propuesta de Hao Wang [2] introduciendo en 1963 en su teoría de {x | A (x)} como una clase virtual, de modo que las clases son, aunque todavía no términos completos, sino sub-términos en contextos definidos. [3]
Después de Quine, Arnold Oberschelp desarrolló la primera lógica de clase axiomática moderna completamente funcional a partir de 1974. Es una extensión consistente de la lógica de predicados y permite el uso irrestricto de términos de clase (como Peano). [4] Utiliza todas las clases que producen antinomias de la teoría de conjuntos ingenua como término. Esto es posible porque la teoría no asume axiomas de existencia para las clases. Presupone en particular cualquier número de axiomas, pero también puede tomarlos y ser sintácticamente correctos para formularlos en el diseño tradicionalmente simple con términos de clase. Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Oberschelp desarrolló la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel dentro del marco de la lógica de clases. [5] Tres principios garantizan que las complicadas fórmulas ZF se puedan traducir en fórmulas de clases convenientes; Garantizan un aumento lógico de clase en el lenguaje ZF que forman sin axiomas de cantidades junto con los axiomas de la lógica de predicados, un sistema de axiomas para una lógica simple de clase general. [6]
El principio de abstracción ( Abstraktionsprinzip ) establece que las clases describen sus elementos a través de una propiedad lógica:
El principio de extensionalidad ( Extensionalitätsprinzip ) describe la igualdad de clases haciendo coincidir sus elementos y elimina el axioma de extensionalidad en ZF:
El principio de comprensión ( Komprehensionsprinzip ) determina la existencia de una clase como elemento:
Bibliografía
- Giuseppe Peano : Arithmetices principia. Nova methodo exposita. Corso, Torino ua 1889 (Auch en: Giuseppe Peano: Opere scelte. Band 2. Cremonese, Rom 1958, S. 20–55).
- G. Frege : Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Band 1. Pohle, Jena 1893.
- Willard Van Orman Quine : Nuevos fundamentos para la lógica matemática , en: American Mathematical Monthly 44 (1937), S. 70-80.
- Willard Van Orman Quine: Teoría de conjuntos y su lógica, edición revisada. Harvard University Press, Cambridge MA 1969 ISBN 0-674-80207-1 .
- Arnold Oberschelp: Elementare Logik und Mengenlehre (= BI-Hochschultaschenbücher 407–408). 2 Bände. Bibliographisches Institut, Mannheim ua 1974-1978, ISBN 3-411-00407-X (Bd. 1), ISBN 3-411-00408-8 (Bd. 2).
- Albert Menne Grundriß der formalen Logik (= Uni-Taschenbücher 59 UTB für Wissenschaft ). Schöningh, Paderborn 1983, ISBN 3-506-99153-1 (Renombrado Grundriß der Logistik a partir de la 5a edición - El libro muestra, entre otros cálculos , una posible aplicación del cálculo a la lógica de clases, basada en el cálculo proposicional y de predicados y lleva los términos básicos de los sistemas formales a la lógica de clases. También se discuten brevemente las paradojas y la teoría de tipos).
- Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp, Günter Todt: Klassenlogik. Bibliographisches Institut, Mannheim ua 1983, ISBN 3-411-01634-5 .
- Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim ua 1994, ISBN 3-411-17271-1 .
Referencias
- ^ John Barkley Rosser : paradoja de Burali-Forti. En: Journal of Symbolic Logic, Band 7, 1942, p. 1-17
- ^ Hao Wang: un sistema formal de lógica. En: Journal of Symbolic Logic, Band 15, 1950, p. 25-32
- ^ Willard Van Orman Quine : teoría de conjuntos y su lógica. 1969, pág. 15.
- ^ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, pág. 75 f.
- ^ Las ventajas de la lógica de clases se muestran en una comparación de ZFC en la lógica de clases y la lógica de predicados en: Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, pág. 261.
- ^ Arnold Oberschelp, p. 262, 41,7. La axiomatización es mucho más complicada, pero aquí se reduce a un final de libro a lo esencial.