la paradoja de russell
En lógica matemática , la paradoja de Russell (también conocida como antinomia de Russell ) es una paradoja de teoría de conjuntos descubierta por el filósofo y matemático británico Bertrand Russell en 1901. [1] [2] La paradoja de Russell muestra que toda teoría de conjuntos que contiene un principio de comprensión sin restricciones conduce a contradicciones. [3] La paradoja ya había sido descubierta de forma independiente en 1899 por el matemático alemán Ernst Zermelo . [4] Sin embargo, Zermelo no hizo pública la idea, que sólo quedó conocida por David Hilbert , Edmund Husserl y otros académicos de la Universidad de Göttingen . A finales de la década de 1890, Georg Cantor -considerado el fundador de la teoría de conjuntos moderna- ya se había dado cuenta de que su teoría conduciría a una contradicción, lo cual se lo comunicó a Hilbert y Richard Dedekind por carta. [5]
De acuerdo con el principio de comprensión ilimitada, para cualquier propiedad suficientemente bien definida , existe el conjunto de todos y sólo los objetos que tienen esa propiedad. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si R no es miembro de sí mismo, entonces su definición implica que es miembro de sí mismo; si es miembro de sí mismo, entonces no es miembro de sí mismo, ya que es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. La contradicción resultante es la paradoja de Russell. En símbolos:
Russell también mostró que una versión de la paradoja podría derivarse del sistema axiomático construido por el filósofo y matemático alemán Gottlob Frege , socavando así el intento de Frege de reducir las matemáticas a la lógica y cuestionando el programa logicista . En 1908 se propusieron dos formas influyentes de evitar la paradoja: la propia teoría de tipos de Russell y la teoría de conjuntos de Zermelo . En particular, los axiomas de Zermelo restringieron el principio de comprensión ilimitada. Con las contribuciones adicionales de Abraham Fraenkel , la teoría de conjuntos de Zermelo se convirtió en la ahora estándar teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (comúnmente conocida como ZFC cuando incluye elaxioma de elección ). La principal diferencia entre la solución de la paradoja de Russell y Zermelo es que Zermelo modificó los axiomas de la teoría de conjuntos manteniendo un lenguaje lógico estándar, mientras que Russell modificó el lenguaje lógico en sí. El lenguaje de ZFC, con la ayuda de Thoralf Skolem , resultó ser el de la lógica de primer orden . [6]
La mayoría de los conjuntos que se encuentran comúnmente no son miembros de sí mismos. Por ejemplo, considere el conjunto de todos los cuadrados en un plano . Este conjunto no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que no es miembro de sí mismo. Llamemos a un conjunto "normal" si no es miembro de sí mismo, y "anormal" si es miembro de sí mismo. Claramente, cada conjunto debe ser normal o anormal. El conjunto de cuadrados en el plano es normal. Por el contrario, el conjunto complementario que contiene todo lo que no es un cuadrado en el plano no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que es uno de sus propios miembros y, por lo tanto, es anormal.
Ahora consideramos el conjunto de todos los conjuntos normales, R , y tratamos de determinar si R es normal o anormal. Si R fuera normal, estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (él mismo) y, por lo tanto, sería anormal; por otro lado, si R fuera anormal, no estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (en sí mismo) y, por lo tanto, sería normal. Esto lleva a la conclusión de que R no es ni normal ni anormal: la paradoja de Russell.
El término " teoría de conjuntos ingenua " se utiliza de varias formas. En un uso, la teoría de conjuntos ingenua es una teoría formal, que podemos llamar NST, que se formula en un lenguaje de primer orden con un predicado no lógico binario , y que incluye el axioma de extensionalidad :
