Clasificación de discontinuidades

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Las funciones continuas son de suma importancia en matemáticas , funciones y aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Si una función no es continua en un punto de su dominio , se dice que tiene una discontinuidad allí. El conjunto de todos los puntos de discontinuidad de una función puede ser un conjunto discreto , un conjunto denso o incluso el dominio completo de la función. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades en el caso más simple de las funciones de una sola verdadera variable de tomar valores reales.

La oscilación de una función en un punto cuantifica estas discontinuidades de la siguiente manera:

• en una discontinuidad removible, la distancia por la que el valor de la función está fuera es la oscilación;
• en una discontinuidad de salto, el tamaño del salto es la oscilación (asumiendo que el valor en el punto se encuentra entre estos límites de los dos lados);
• en una discontinuidad esencial, la oscilación mide la falta de existencia de un límite. El límite es constante.

Un caso especial es si la función diverge hasta el infinito o menos el infinito, en cuyo caso la oscilación no está definida (en los números reales extendidos, esta es una discontinuidad removible).

Clasificación

Para cada uno de los siguientes, considere una función con valor real f de una variable real x , definida en una vecindad del punto x ₀ en el que f es discontinua.

Discontinuidad removible

La función en el ejemplo 1, una discontinuidad removible

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

El punto x ₀ = 1 es una discontinuidad removible . Para este tipo de discontinuidad:

El límite unilateral de la dirección negativa:

${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$

y el límite unilateral de la dirección positiva:

${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$

en x ₀ ambos existen, son finitos y son iguales a L = L ^- = L ⁺ . En otras palabras, dado que los dos límites unilaterales existen y son iguales, el límite L de f ( x ) cuando x se acerca a x ₀ existe y es igual a este mismo valor. Si el valor real de f ( x ₀ ) no es igual a L , entonces x ₀ se llama discontinuidad removible. Esta discontinuidad puede eliminarse para hacer f continua en x ₀ , o más precisamente, la función

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$

es continua en x = x ₀ .

El término discontinuidad removible es a veces un abuso de terminología para los casos en los que los límites en ambas direcciones existen y son iguales, mientras que la función no está definida en el punto x ₀ . ^[a] Este uso es abusivo porque la continuidad y discontinuidad de una función son conceptos definidos solo para puntos en el dominio de la función. Tal punto que no está en el dominio se denomina propiamente una singularidad removible .

Saltar discontinuidad

La función en el ejemplo 2, una discontinuidad de salto

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

Entonces, el punto x ₀ = 1 es una discontinuidad de salto .

En este caso, no existe un límite único porque los límites unilaterales, L ^- y L ⁺ , existen y son finitos, pero no son iguales: dado que, L ^- ≠ L ⁺ , el límite L no existe. Entonces, x ₀ se denomina discontinuidad de salto , discontinuidad de paso o discontinuidad del primer tipo . Para este tipo de discontinuidad, la función f puede tener cualquier valor en x ₀ .

Discontinuidad esencial

La función del ejemplo 3, una discontinuidad esencial

Para una discontinuidad esencial, al menos uno de los dos límites unilaterales no existe. Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$

Entonces, el punto es una discontinuidad esencial . ${\displaystyle x_{0}=1}$

En este ejemplo, ambos y no existen, satisfaciendo así la condición de discontinuidad esencial. Entonces x ₀ es una discontinuidad esencial, una discontinuidad infinita o una discontinuidad del segundo tipo. (Esto es distinto de una singularidad esencial , que se usa a menudo cuando se estudian funciones de variables complejas ).${\displaystyle L^{-}}$${\displaystyle L^{+}}$

El conjunto de discontinuidades de una función

El conjunto de puntos en los que una función es continua es siempre un conjunto G δ . El conjunto de discontinuidades es un conjunto F σ .

El conjunto de discontinuidades de una función monótona es, como mucho, contable . Este es el teorema de Froda .

La función de Thomae es discontinua en cada punto racional , pero continua en cada punto irracional. Según el primer párrafo, no existe una función que sea continua en cada punto racional, sino discontinua en cada punto irracional.

La función indicadora de los racionales, también conocida como función de Dirichlet , es discontinua en todas partes .

Ver también

• Singularidad removible
• Singularidad matemática
• Ampliación por continuidad

Notas

1. Vea, por ejemplo, la última oración en la definición dada en Mathwords. ^[1]

Referencias

1. http://www.mathwords.com/r/removable_discontinuity.htm

Fuentes

• Malik, SC; Arora, Savita (1992). Análisis matemático (2ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.

Enlaces externos

• "Discontinuo" . PlanetMath .
• "Discontinuity" por Ed Pegg, Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuidad" . MathWorld .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Punto de discontinuidad" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press