En matemáticas , el término indefinido se usa a menudo para referirse a una expresión a la que no se le asigna una interpretación o un valor (como una forma indeterminada , que tiene la propensión a asumir valores diferentes). [1] [2] El término puede adquirir varios significados diferentes según el contexto. Por ejemplo:
- En varias ramas de las matemáticas, ciertos conceptos se introducen como nociones primitivas (por ejemplo, los términos "punto", "línea" y "ángulo" en geometría ). Como estos términos no se definen en términos de otros conceptos, pueden denominarse "términos indefinidos".
- Se dice que una función está "indefinida" en puntos fuera de su dominio , por ejemplo, la función de valor real no está definido por negativo (es decir, no asigna ningún valor a los argumentos negativos).
- En álgebra , algunas operaciones aritméticas pueden no asignar un significado a ciertos valores de sus operandos (por ejemplo, división por cero ). En cuyo caso, las expresiones que involucran tales operandos se denominan "indefinidas". [3]
Términos indefinidos
En la antigüedad, los geómetras intentaron definir todos los términos. Por ejemplo, Euclides definió un punto como "aquello que no tiene parte". En los tiempos modernos, los matemáticos reconocen que intentar definir cada palabra conduce inevitablemente a definiciones circulares y, por lo tanto, dejan algunos términos (como "punto") sin definir (ver noción primitiva para más información).
Este enfoque más abstracto permite generalizaciones fructíferas. En topología , un espacio topológico puede definirse como un conjunto de puntos dotados de ciertas propiedades, pero en el contexto general, la naturaleza de estos "puntos" se deja completamente indefinida. Asimismo, en la teoría de categorías , una categoría consta de "objetos" y "flechas", que son nuevamente términos primitivos e indefinidos. Esto permite aplicar estas teorías matemáticas abstractas a situaciones concretas muy diversas.
En aritmética
La expresión 0/0 no está definida en aritmética, como se explica en la división por cero (la misma expresión se usa en cálculo para representar una forma indeterminada ).
Los matemáticos tienen diferentes opiniones sobre si 0 0 debería definirse como igual a 1 o dejarse indefinido; consulte Cero elevado a cero para obtener más detalles.
Valores para los que las funciones no están definidas
El conjunto de números para el que se define una función se denomina dominio de la función. Si un número no está en el dominio de una función, se dice que la función es "indefinida" para ese número. Dos ejemplos comunes son, que no está definido para , y , que no está definido (en el sistema de números reales) para negativo .
En trigonometría
En trigonometría, las funciones y son indefinidos para todos , mientras que las funciones y son indefinidos para todos .
En ciencias de la computación
Notación usando ↓ y ↑
En la teoría de la computabilidad , sies una función parcial en y es un elemento de , entonces esto se escribe como , y se lee como " se define f ( a ) ". [4]
Si no está en el dominio de , entonces esto se escribe como , y se lee como "no está definido ".
Los simbolos del infinito
En el análisis , la teoría de la medida y otras disciplinas matemáticas, el símbolo se utiliza con frecuencia para denotar un pseudo-número infinito, junto con su negativo, . El símbolo no tiene un significado bien definido por sí mismo, sino una expresión comoes la abreviatura de una secuencia divergente , que en algún momento es eventualmente más grande que cualquier número real dado.
Realización de operaciones aritméticas estándar con los símbolos es indefinido. Sin embargo, algunas extensiones definen las siguientes convenciones de suma y multiplicación:
- .
- .
- .
Ninguna extensión sensible de la suma y la multiplicación con existe en los siguientes casos:
- (aunque en la teoría de la medida , esto a menudo se define como)
Para obtener más detalles, consulte la recta numérica real extendida .
Singularidades en el análisis complejo
En análisis complejo , un puntodonde una función holomórfica no está definida se llama singularidad . Se distingue entre singularidades removibles (es decir, la función puede extenderse holomórficamente a), polos (es decir, la función puede extenderse meromórficamente a), y singularidades esenciales (es decir, sin extensión meromórfica a puede existir).
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - indeterminado" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Indefinido" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
- ^ "Indefinido vs indeterminado en matemáticas" . www.cut-the-knot.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
- ^ Enderton, Herbert B. (2011). Computabilidad: una introducción a la teoría de la recursividad . Elseveier. págs. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.
Otras lecturas
- Inteligente, James R. (1988). Geometrías modernas (Tercera ed.). Brooks / Cole. ISBN 0-534-08310-2.