En el análisis complejo , una singularidad removible de una función holomórfica es un punto en el que la función no está definida, pero es posible redefinir la función en ese punto de tal manera que la función resultante sea regular en una vecindad de ese punto.
Por ejemplo, la función sinc (no normalizada)
tiene una singularidad en z = 0. Esta singularidad se puede eliminar definiendo, que es el límite deya que z tiende a 0. La función resultante es holomórfica. En este caso, el problema fue causado pordándose una forma indeterminada . Tomando una expansión de la serie de potencia para alrededor del punto singular muestra que
Formalmente, si es un subconjunto abierto del plano complejo , un punto de , y es una función holomórfica , entoncesse llama una singularidad removible para si existe una función holomorfa que coincide con en . Decimos es holomórficamente ampliable sobre si tal existe.
Teorema de riemann
El teorema de Riemann sobre singularidades removibles es el siguiente:
Teorema - Sea ser un subconjunto abierto del plano complejo, un punto de y una función holomórfica definida en el conjunto . Los siguientes son equivalentes:
Las implicaciones 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 son triviales. Para demostrar 4 ⇒ 1, primero recordamos que la holomorfia de una función en es equivalente a ser analítico en ( prueba ), es decir, tener una representación en serie de potencias. Definir
Claramente, h es holomórfica en, y existe
por 4, por lo tanto, h es holomórfico en D y tiene una serie de Taylor sobre a :
Tenemos c 0 = h ( a ) = 0 y c 1 = h ' ( a ) = 0; por lo tanto
Por tanto, donde z ≠ a , tenemos:
Sin emabargo,
es holomórfico en D , por lo tanto, una extensión de f .
Otros tipos de singularidades
A diferencia de las funciones de una variable real, las funciones holomórficas son lo suficientemente rígidas como para que sus singularidades aisladas puedan clasificarse por completo. La singularidad de una función holomórfica no es realmente una singularidad en absoluto, es decir, una singularidad removible, o uno de los dos tipos siguientes:
- A la luz del teorema de Riemann, dada una singularidad no removible, uno podría preguntarse si existe un número natural tal que . Si es así,se llama polo de y el mas pequeño como es el orden de. Entonces, las singularidades removibles son precisamente los polos de orden 0. Una función holomórfica explota uniformemente cerca de sus otros polos.
- Si una singularidad aislada de no es ni removible ni un poste, se llama una singularidad esencial . El gran teorema de Picard muestra que tal mapea cada vecindario abierto perforado a todo el plano complejo, con la posible excepción de como máximo un punto.