En matemáticas , la oscilación de una función o secuencia es un número que cuantifica cuánto varía esa secuencia o función entre sus valores extremos a medida que se acerca al infinito o un punto. Como ocurre con los límites , existen varias definiciones que ponen el concepto intuitivo en una forma adecuada para un tratamiento matemático: oscilación de una secuencia de números reales , oscilación de una función de valor real en un punto y oscilación de una función en un intervalo (o conjunto abierto ).
Definiciones
Oscilación de una secuencia
Dejar ser una secuencia de números reales. La oscilaciónde esa secuencia se define como la diferencia (posiblemente infinita) entre el límite superior y el límite inferior de:
- .
La oscilación es cero si y solo si la secuencia converge. No está definido si y son ambos iguales a + ∞ o ambos iguales a −∞, es decir, si la secuencia tiende a + ∞ o −∞.
Oscilación de una función en un conjunto abierto
Dejar ser una función de valor real de una variable real. La oscilación de en un intervalo en su dominio es la diferencia entre el supremum y el infimum de:
De manera más general, si es una función en un espacio topológico (como un espacio métrico ), entonces la oscilación deen un set abierto es
Oscilación de una función en un punto
La oscilación de una función de una variable real en un punto se define como el límite como de la oscilación de en una -barrio de :
Esto es lo mismo que la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la función en , siempre el punto no está excluido de los límites.
De manera más general, si es una función de valor real en un espacio métrico , entonces la oscilación es
Ejemplos de
- 1 / x tiene oscilación ∞ en x = 0, y oscilación 0 en otros x finitos y en −∞ y + ∞.
- sin (1 / x ) (la curva sinusoidal del topólogo ) tiene una oscilación 2 en x = 0 y 0 en cualquier otro lugar.
- sen x tiene oscilación 0 en cada x finito , y 2 en −∞ y + ∞.
- La secuencia 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... tiene oscilación 2.
En el último ejemplo, la secuencia es periódica y cualquier secuencia que sea periódica sin ser constante tendrá una oscilación distinta de cero. Sin embargo, una oscilación distinta de cero no suele indicar periodicidad.
Geométricamente, la gráfica de una función oscilante en los números reales sigue algún camino en el plano xy , sin asentarse en regiones cada vez más pequeñas. En casos de buen comportamiento , la ruta puede parecer un bucle que regresa sobre sí mismo, es decir, un comportamiento periódico; en el peor de los casos, movimientos bastante irregulares que abarcan toda una región.
Continuidad
La oscilación se puede utilizar para definir la continuidad de una función , y es fácilmente equivalente a la definición habitual de ε - δ (en el caso de funciones definidas en todas partes en la línea real): una función ƒ es continua en un punto x 0 si y solo si la oscilación es cero; [1] en símbolos,Una ventaja de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación da forma tanto la función es discontinua en un punto.
Por ejemplo, en la clasificación de discontinuidades :
- en una discontinuidad removible, la distancia por la que el valor de la función está fuera es la oscilación;
- en una discontinuidad de salto, el tamaño del salto es la oscilación (asumiendo que el valor en el punto se encuentra entre estos límites desde los dos lados);
- en una discontinuidad esencial, la oscilación mide la falta de existencia de un límite.
Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos - los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que ε (por lo tanto, un conjunto G δ ) - y da una prueba muy rápida de uno dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . [2]
La oscilación es equivalente a la definición de ε - δ mediante una simple reorganización y mediante el uso de un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un ε 0 dado no hay δ que satisface la definición de ε - δ , entonces la oscilación es al menos ε 0 y, a la inversa, si para cada ε hay un δ deseado , la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico .
Generalizaciones
De manera más general, si f : X → Y es una función de un espacio topológico X en un espacio métrico Y , entonces la oscilación de f se define en cada x ∈ X por
Ver también
Referencias
- ^ Introducción al análisis real , actualizado en abril de 2010, William F. Trench, Teorema 3.5.2, p. 172
- ^ Introducción al análisis real , actualizado en abril de 2010, William F. Trench, 3.5 "Una mirada más avanzada a la existencia de la integral de Riemann adecuada", págs. 171-177
- Hewitt y Stromberg (1965). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. pag. 78 .
- Oxtoby, J (1996). Medida y categoría (4ª ed.). Springer-Verlag. págs. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
- Pugh, CC (2002). Análisis matemático real . Nueva York: Springer. págs. 164-165 . ISBN 0-387-95297-7.