En matemáticas , un módulo de Clifford es una representación de un álgebra de Clifford . En general, un álgebra C de Clifford es un álgebra simple central sobre alguna extensión de campo L del campo K sobre el cual se define la forma cuadrática Q que define a C.
La teoría abstracta de los módulos de Clifford fue fundada por un artículo de MF Atiyah , R. Bott y Arnold S. Shapiro . Un resultado fundamental de los módulos de Clifford es que la clase de equivalencia de Morita de un álgebra de Clifford (la clase de equivalencia de la categoría de módulos de Clifford sobre ella) depende solo de la firma p - q (mod 8) . Ésta es una forma algebraica de periodicidad de Bott .
Representaciones matriciales de álgebras de Clifford reales
Necesitaremos estudiar matrices anticonmutación ( AB = - BA ) porque en las álgebras de Clifford los vectores ortogonales anticonmutación
Para el álgebra de Clifford real , necesitamos p + q matrices mutuamente anticonmutables, de las cuales p tienen +1 como cuadrado yq tienen −1 como cuadrado.
Esta base de matrices gamma no es única. Siempre se puede obtener otro conjunto de matrices gamma que satisfagan el mismo álgebra de Clifford mediante una transformación de similitud.
donde S es una matriz no singular. Los conjuntos γ a ′ y γ a pertenecen a la misma clase de equivalencia.
Álgebra de Clifford real R 3,1
Desarrollado por Ettore Majorana , este módulo de Clifford permite la construcción de una ecuación similar a Dirac sin números complejos, y sus elementos se denominan espinores de Majorana .
Los cuatro vectores base son las tres matrices de Pauli y una cuarta matriz antihermitiana. La firma es (+++ -). Para las firmas (+ −−−) y (−−− +) que se utilizan a menudo en física, se necesitan matrices complejas de 4 × 4 o matrices reales de 8 × 8.
Ver también
Referencias
- Atiyah, Michael; Bott, Raoul; Shapiro, Arnold (1964), "Clifford Modules" (PDF) , Topology , 3 (Suppl. 1): 3-38, doi : 10.1016 / 0040-9383 (64) 90003-5 , archivado desde el original (PDF) en 2011-07-17 , consultado 2011-07-28
- Deligne, Pierre (1999), "Notes on spinors", en Deligne, P .; Etingof, P .; Freed, DS; Jeffrey, LC; Kazhdan, D .; Morgan, JW; Morrison, DR; Witten, E. (eds.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians , Providence: American Mathematical Society, págs. 99-135, ISBN 978-0-8218-2012-4. Consulte también el sitio web del programa para obtener una versión preliminar.
- Harvey, F. Reese (1990), Spinors y calibraciones , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
- Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.