Teorema de la periodicidad de Bott

Describe una periodicidad en los grupos de homotopía de grupos clásicos.

En matemáticas , el teorema de periodicidad de Bott describe una periodicidad en los grupos de homotopía de los grupos clásicos , descubierto por Raoul Bott  ( 1957 , 1959 ), que resultó ser de importancia fundamental para muchas más investigaciones, en particular en la teoría K del vector complejo estable. haces , así como los grupos homotópicos estables de esferas . La periodicidad de Bott puede formularse de numerosas formas, apareciendo siempre la periodicidad en cuestión como un fenómeno de período-2, con respecto a la dimensión, para la teoría asociada al grupo unitario . Ver por ejemploteoría K topológica .

Hay fenómenos del período 8 correspondientes para las teorías coincidentes, la teoría KO ( real ) y la teoría KSp ( cuaterniónica ) , asociadas al grupo ortogonal real y al grupo simpléctico cuaterniónico , respectivamente. El homomorfismo J es un homomorfismo de los grupos de homotopía de los grupos ortogonales a los grupos de homotopía estables de esferas , lo que hace que la periodicidad de Bott del período 8 sea visible en los grupos de homotopía estables de esferas.

Declaración de resultado

Bott demostró que si se define como el límite inductivo de los grupos ortogonales , entonces sus grupos de homotopía son periódicos: ^[1]${\displaystyle O(\infty )}$

${\displaystyle \pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))}$

y los primeros 8 grupos de homotopía son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Contexto y significado

El contexto de la periodicidad de Bott es que los grupos de esferas de homotopía , que se esperaría que desempeñaran el papel básico en la topología algebraica por analogía con la teoría de la homología , han resultado esquivos (y la teoría es complicada). El tema de la teoría de la homotopía estable se concibió como una simplificación, al introducir la operación de suspensión ( aplastar el producto con un círculo ) y ver lo que (en términos generales) quedaba de la teoría de la homotopía una vez que se permitía suspender ambos lados de una ecuación, como muchos veces como uno quisiera. La teoría estable todavía era difícil de calcular en la práctica.

Lo que ofrecía la periodicidad de Bott era una visión de algunos espacios no triviales, con un estatus central en la topología debido a la conexión de su cohomología con clases características , para las cuales se podían calcular todos los grupos de homotopía ( inestables ). Estos espacios son los grupos unitarios, ortogonales y simplécticos (infinitos o estables ) U , O y Sp. En este contexto, estable se refiere a tomar la unión U (también conocida como límite directo ) de la secuencia de inclusiones

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

y de manera similar para O y Sp. Nótese que el uso de Bott de la palabra estable en el título de su artículo seminal se refiere a estos grupos clásicos estables y no a grupos homotópicos estables .

La importante conexión de la periodicidad de Bott con los grupos de homotopía estables de esferas viene a través del llamado homotopía J estable de los grupos de homotopía (inestable) de los grupos clásicos (estables) a estos grupos de homotopía estables . Descrita originalmente por George W. Whitehead , se convirtió en el tema de la famosa conjetura de Adams (1963) que finalmente fue resuelta afirmativamente por Daniel Quillen (1971).${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$

Los resultados originales de Bott se pueden resumir sucintamente en:

Corolario: Los grupos de homotopía (inestables) de los grupos clásicos (infinitos) son periódicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Nota: El segundo y el tercero de estos isomorfismos se entrelazan para dar los resultados de periodicidad de 8 veces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Espacios de bucle y espacios de clasificación

Para la teoría asociada al grupo unitario infinito , U , el espacio BU es el espacio de clasificación para los haces de vectores complejos estables (un Grassmanniano en dimensiones infinitas). Una formulación de la periodicidad de Bott describe el espacio de bucle doble de BU . Aquí, está el functor de espacio de bucle , contiguo a la derecha a la suspensión y al lado izquierdo a la construcción del espacio de clasificación . La periodicidad de Bott indica que este espacio de doble bucle es esencialmente BU de nuevo; más precisamente,${\displaystyle \Omega ^{2}BU}$${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$$

es esencialmente (es decir, homotopía equivalente a) la unión de un número contable de copias de BU . Una formulación equivalente es

$${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$$

Cualquiera de estos tiene el efecto inmediato de mostrar por qué la teoría K topológica (compleja) es una teoría periódica doble.

En la teoría correspondiente para el grupo ortogonal infinito , O , el espacio BO es el espacio de clasificación para los paquetes de vectores reales estables . En este caso, la periodicidad de Bott establece que, para el espacio de bucle de 8 pliegues,

$${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO;}$$

o equivalente,

$${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$$

lo que produce la consecuencia de que la teoría de KO es una teoría periódica de 8 veces. Además, para el grupo simpléctico infinito , Sp, el espacio BSp es el espacio de clasificación para los paquetes de vectores cuaterniónicos estables , y la periodicidad de Bott establece que

$${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;}$$

o equivalente

$${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$$

Así, tanto la teoría K topológica real (también conocida como teoría KO ) como la teoría K cuaterniónica topológica (también conocida como teoría KSp) son teorías periódicas de 8 veces.

Modelo geométrico de espacios de bucle

Una elegante formulación de la periodicidad de Bott hace uso de la observación de que hay incrustaciones naturales (como subgrupos cerrados) entre los grupos clásicos. Los espacios de bucle en Bott periodicidad son entonces homotopy equivalente a los espacios simétricos de cocientes sucesivos, con factores discretas adicionales de Z .

Sobre los números complejos:

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

Sobre los números reales y cuaterniones:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

Estas secuencias corresponden a secuencias en álgebras de Clifford - ver clasificación de álgebras de Clifford ; sobre los números complejos:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

Sobre los números reales y cuaterniones:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

donde las álgebras de división indican "matrices sobre ese álgebra".

Como son 2-periódicos / 8-periódicos, se pueden organizar en un círculo, donde se denominan reloj de periodicidad de Bott y reloj de álgebra de Clifford .

Los resultados de la periodicidad de Bott luego se refinan a una secuencia de equivalencias de homotopía :

Para teoría K compleja:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (Z\times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

Para teorías KO y KSp reales y cuaterniónicas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

Los espacios resultantes son homotopía equivalente a los espacios simétricos reductivos clásicos , y son los cocientes sucesivos de los términos del reloj de periodicidad de Bott. Estas equivalencias arrojan inmediatamente los teoremas de periodicidad de Bott.

Los espacios específicos son, ^{[nota 1]} (para grupos, también se enumera el espacio homogéneo principal ):

Espacio de bucle	Cociente	Etiqueta de Cartan	Descripción
${\displaystyle \Omega ^{0}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times O/(O\times O)}$	BDI	Grassmannian real
${\displaystyle \Omega ^{1}}$	${\displaystyle O=(O\times O)/O}$		Grupo ortogonal ( colector Stiefel real )
${\displaystyle \Omega ^{2}}$	${\displaystyle O/U}$	DIII	espacio de estructuras complejas compatibles con una estructura ortogonal dada
${\displaystyle \Omega ^{3}}$	${\displaystyle U/\mathrm {Sp} }$	AII	espacio de estructuras cuaterniónicas compatibles con una estructura compleja dada
${\displaystyle \Omega ^{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )}$	CII	Grassmanniano cuaterniónico
${\displaystyle \Omega ^{5}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp} }$		Grupo simpléctico ( variedad Stiefel cuaterniónica )
${\displaystyle \Omega ^{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} /U}$	CI	Grassmanniano lagrangiano complejo
${\displaystyle \Omega ^{7}}$	${\displaystyle U/O}$	AI	Grassmanniano lagrangiano

Pruebas

La prueba original de Bott ( Bott 1959 ) utilizó la teoría de Morse , que Bott (1956) había utilizado anteriormente para estudiar la homología de los grupos de Lie. Se han dado muchas pruebas diferentes.

Notas

1. La interpretación y el etiquetado son ligeramente incorrectos y se refieren aespacios simétricos irreductibles , mientras que estos son losespacios reductores más generales. Por ejemplo, SU / Sp es irreducible, mientras que U / Sp es reductivo. Como muestran estos, la diferencia se puede interpretar como si se incluye o no la orientación.

Referencias

1. http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node1.html

• Bott, Raoul (1956), "Una aplicación de la teoría Morse a la topología de los grupos de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251-281, doi : 10.24033 / bsmf.1472 , ISSN  0037-9484 , Señor  0087035
• Bott, Raoul (1957), "La homotopía estable de los grupos clásicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 43 (10): 933-5, doi : 10.1073 / pnas.43.10.933 , JSTOR  89403 , MR  0.102.802 , PMC  528 555 , PMID  16590113
• Bott, Raoul (1959), "La homotopía estable de los grupos clásicos", Annals of Mathematics , Second Series, 70 (2): 313–337, doi : 10.2307 / 1970106 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970106 , MR  0110104 , PMC  528555 , PMID  16590113
• Bott, Raoul (1970), "El teorema de la periodicidad para los grupos clásicos y algunas de sus aplicaciones", Advances in Mathematics , 4 (3): 353–411, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90030-7. Una explicación expositiva del teorema y las matemáticas que lo rodean.
• Giffen, CH (1996), "La periodicidad de Bott y la construcción Q" , en Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (eds.), Algebraic K-Theory , Contemporary Mathematics, 199 , American Mathematical Society, págs. 107-124, ISBN 978-0-8218-0511-4, MR  1409620
• Milnor, J. (1969). Teoría Morse . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08008-9.
• Baez, John (21 de junio de 1997). "Semana 105" . Hallazgos de esta semana en física matemática .