En geometría y física, los espinores / s p ɪ n ər / son elementos de un espacio vectorial complejo que puede asociarse con el espacio euclidiano . [b] Al igual que los vectores geométricos y los tensores más generales , los espinores se transforman linealmente cuando el espacio euclidiano se somete a una ligera rotación ( infinitesimal ). [c] Sin embargo, cuando se compone una secuencia de rotaciones tan pequeñas ( integradas) para formar una rotación final general, la transformación de espinor resultante depende de qué secuencia de pequeñas rotaciones se utilizó. A diferencia de los vectores y tensores, un espinor se transforma en negativo cuando el espacio gira continuamente a través de un giro completo de 0 ° a 360 ° (ver imagen). Esta propiedad caracteriza a los espinores: los espinores pueden verse como las "raíces cuadradas" de los vectores (aunque esto es inexacto y puede ser engañoso; se ven mejor como "raíces cuadradas" de secciones de paquetes de vectores , en el caso del paquete de álgebra exterior del haz cotangente, se convierten así en "raíces cuadradas" de formas diferenciales).
También es posible asociar una noción sustancialmente similar de espinor al espacio de Minkowski , en cuyo caso las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial juegan el papel de rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por Élie Cartan en 1913. [1] [d] En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el momento angular intrínseco , o "espín", del electrón y otras partículas subatómicas. [mi]
Los espinores se caracterizan por la forma específica en que se comportan bajo rotaciones. Cambian de diferentes maneras dependiendo no solo de la rotación final general, sino de los detalles de cómo se logró esa rotación (mediante una ruta continua en el grupo de rotación ). Hay dos clases topológicamente distinguibles (clases de homotopía ) de caminos a través de rotaciones que dan como resultado la misma rotación general, como lo ilustra el acertijo del truco del cinturón . Estas dos clases desiguales producen transformaciones de espino de signo opuesto. El grupo de giro es el grupo de todas las rotaciones que realizan un seguimiento de la clase. [f] Cubre doblemente el grupo de rotación, ya que cada rotación se puede obtener de dos formas no equivalentes como punto final de una trayectoria. El espacio de espinores por definición está equipado con una representación lineal (compleja) del grupo de espín, lo que significa que los elementos del grupo de espín actúan como transformaciones lineales en el espacio de espinores, de una manera que realmente depende de la clase de homotopía. [g] En términos matemáticos, los espinores se describen mediante una representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO (3).
Aunque los espinores se pueden definir puramente como elementos de un espacio de representación del grupo de espines (o su álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales), generalmente se definen como elementos de un espacio vectorial que lleva una representación lineal del álgebra de Clifford . El álgebra de Clifford es un álgebra asociativa que se puede construir a partir del espacio euclidiano y su producto interno de una manera independiente de la base. Tanto el grupo de espín como su álgebra de Lie están incrustados dentro del álgebra de Clifford de forma natural, y en las aplicaciones, el álgebra de Clifford es a menudo la más fácil de trabajar. [h] Un espacio de Clifford opera en un espacio de espino y los elementos de un espacio de espino son espinores. [3] Después de elegir una base ortonormal del espacio euclidiano, se genera una representación del álgebra de Clifford mediante matrices gamma , matrices que satisfacen un conjunto de relaciones canónicas anticonmutación. Los espinores son los vectores columna sobre los que actúan estas matrices. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, las matrices de espín de Pauli son un conjunto de matrices gamma, [i] y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices son espinores. Sin embargo, la representación matricial particular del álgebra de Clifford, por lo tanto, lo que constituye precisamente un "vector columna" (o espinor), implica la elección de matrices base y gamma de una manera esencial. Como representación del grupo de espín, esta realización de espinores como vectores de columna (complejos [j] ) será irreductible si la dimensión es impar, o se descompondrá en un par de las denominadas "media espín" o representaciones de Weyl. si la dimensión es pareja. [k]
Introducción
Lo que caracteriza a los espinores y los distingue de los vectores geométricos y otros tensores es sutil. Considere aplicar una rotación a las coordenadas de un sistema. Ningún objeto en el sistema en sí se ha movido, solo las coordenadas se han movido, por lo que siempre habrá un cambio de compensación en esos valores de coordenadas cuando se apliquen a cualquier objeto del sistema. Los vectores geométricos, por ejemplo, tienen componentes que experimentarán la misma rotación que las coordenadas. En términos más generales, cualquier tensor asociado con el sistema (por ejemplo, la tensión de algún medio) también tiene descripciones de coordenadas que se ajustan para compensar los cambios en el propio sistema de coordenadas.
Los espinores no aparecen en este nivel de la descripción de un sistema físico, cuando uno se ocupa sólo de las propiedades de una única rotación aislada de las coordenadas. Más bien, los espinores aparecen cuando imaginamos que en lugar de una sola rotación, el sistema de coordenadas gira gradualmente ( continuamente ) entre alguna configuración inicial y final. Para cualquiera de las cantidades familiares e intuitivas ("tensoriales") asociadas con el sistema, la ley de transformación no depende de los detalles precisos de cómo las coordenadas llegaron a su configuración final. Los espinores, por otro lado, están construidos de tal manera que los hace sensibles a cómo llegó allí la rotación gradual de las coordenadas: exhiben dependencia de la trayectoria. Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, en realidad hay dos (" topológicamente " ) rotaciones graduales (continuas) desiguales del sistema de coordenadas que dan como resultado esta misma configuración. Esta ambigüedad se denomina clase de homotopía de la rotación gradual. El rompecabezas del truco del cinturón (mostrado) muestra dos rotaciones diferentes, una en un ángulo de 2 π y la otra en un ángulo de 4 π , con las mismas configuraciones finales pero clases diferentes. Los espinores en realidad exhiben una inversión de signo que realmente depende de esta clase de homotopía. Esto los distingue de los vectores y otros tensores, ninguno de los cuales puede sentir la clase.
Los espinores se pueden exhibir como objetos concretos usando una selección de coordenadas cartesianas . En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, se pueden construir espinores eligiendo matrices de espín de Pauli correspondientes a ( momentos angulares alrededor) de los tres ejes coordenados. Se trata de matrices de 2 × 2 con entradas complejas , y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices mediante la multiplicación de matrices son los espinores. En este caso, el grupo de espín es isomorfo al grupo de matrices unitarias de 2 × 2 con determinante uno, que naturalmente se encuentra dentro del álgebra matricial. Este grupo actúa por conjugación sobre el espacio vectorial real abarcado por las propias matrices de Pauli, [m] realizándolo como un grupo de rotaciones entre ellas, [n] pero también actúa sobre los vectores columna (es decir, los espinores).
De manera más general, se puede construir un álgebra de Clifford a partir de cualquier espacio vectorial V equipado con una forma cuadrática (no degenerada) , como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar o el espacio de Minkowski con su métrica estándar de Lorentz. El espacio de espinores es el espacio de vectores columna concomponentes. El álgebra de Lie ortogonal (es decir, las "rotaciones" infinitesimales) y el grupo de espín asociado a la forma cuadrática están ambos (canónicamente) contenidos en el álgebra de Clifford, por lo que cada representación del álgebra de Clifford también define una representación del álgebra de Lie y el grupo de espín . [o] Dependiendo de la dimensión y firma métrica , esta realización de espinores como vectores columna puede ser irreductible o puede descomponerse en un par de las llamadas representaciones de "medio espín" o de Weyl. [p] Cuando el espacio vectorial V es de cuatro dimensiones, el álgebra se describe mediante las matrices gamma .
Definición matemática
El espacio de espinores se define formalmente como la representación fundamental del álgebra de Clifford . (Esto puede o no descomponerse en representaciones irreductibles). El espacio de espinores también puede definirse como una representación de espín del álgebra de Lie ortogonal . Estas representaciones de espín también se caracterizan como las representaciones proyectivas de dimensión finita del grupo ortogonal especial que no factorizan a través de representaciones lineales. De manera equivalente, un espinor es un elemento de una representación de grupo de dimensión finita del grupo de espín en el que el centro actúa de manera no trivial.
Descripción general
Básicamente, existen dos marcos para ver la noción de espinor.
Desde el punto de vista de la teoría de la representación , se sabe de antemano que existen algunas representaciones del álgebra de Lie del grupo ortogonal que no pueden ser formadas por las construcciones tensoriales habituales. Estas representaciones faltantes se denominan representaciones de espín y sus constituyentes espinores . Desde este punto de vista, un espinor debe pertenecer a una representación de la doble cobertura del grupo de rotación SO ( n , ℝ ) , o más generalmente de una doble cobertura del grupo ortogonal especial generalizado SO + ( p , q , ℝ ) en espacios. con una firma métrica de ( p , q ) . Estas cubiertas dobles son grupos de Lie , llamados grupos de espín Spin ( n ) o Spin ( p , q ) . Todas las propiedades de los espinores y sus aplicaciones y objetos derivados se manifiestan primero en el grupo de espín. Las representaciones de las cubiertas dobles de estos grupos producen representaciones proyectivas de doble valor de los propios grupos. (Esto significa que la acción de una rotación particular sobre los vectores en el espacio cuántico de Hilbert solo se define hasta un signo).
Desde un punto de vista geométrico, uno puede construir explícitamente los espinores y luego examinar cómo se comportan bajo la acción de los grupos de Lie relevantes. Este último enfoque tiene la ventaja de proporcionar una descripción concreta y elemental de lo que es un espinor. Sin embargo, tal descripción se vuelve difícil de manejar cuando se necesitan propiedades complicadas de los espinores, como las identidades de Fierz .
Álgebras de Clifford
El lenguaje de las álgebras de Clifford [4] (a veces llamadas álgebras geométricas ) proporciona una imagen completa de las representaciones de espín de todos los grupos de espines, y las diversas relaciones entre esas representaciones, mediante la clasificación de las álgebras de Clifford . Elimina en gran medida la necesidad de construcciones ad hoc .
En detalle, sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita con forma bilineal simétrica no degenerada g . El álgebra de Clifford Cℓ ( V , g ) es el álgebra generada por V junto con la relación de anticonmutación xy + yx = 2 g ( x , y ) . Es una versión abstracta del álgebra generada por las matrices gamma o Pauli . Si V = ℂ n , con la forma estándar g ( x , y ) = x T y = x 1 y 1 + ... + x n y n denotamos el álgebra de Clifford por Cℓ n ( ℂ ). Dado que mediante la elección de una base ortonormal cada espacio vectorial complejo con forma no degenerada es isomorfo a este ejemplo estándar, esta notación se abusa de manera más general si dim ℂ ( V ) = n . Si n = 2 k es par, Cℓ n ( ℂ ) es isomorfo como un álgebra (de una manera no única) al álgebra Mat (2 k , ℂ ) de matrices complejas de 2 k × 2 k (por Artin-Wedderburn teorema y el hecho fácil de probar de que el álgebra de Clifford es central simple ). Si n = 2 k + 1 es impar, Cℓ 2 k +1 ( ℂ ) es isomorfo al álgebra Mat (2 k , ℂ ) ⊕ Mat (2 k , ℂ ) de dos copias de las matrices complejas de 2 k × 2 k . Por lo tanto, en cualquier caso, Cℓ ( V , g ) tiene una representación irreducible única (hasta isomorfismo) (también llamado módulo de Clifford simple ), comúnmente denotado por Δ, de dimensión 2 [ n / 2] . Dado que el álgebra de Lie entonces ( V , g ) está incrustado como una subálgebra de Lie en Cℓ ( V , g ) equipado con el conmutador de álgebra de Clifford como corchete de Lie, el espacio Δ también es una representación de álgebra de Lie de tal ( V , g ) llamado una representación de giro . Si n es impar, esta representación del álgebra de Lie es irreducible. Si n es par, se divide aún más en dos representaciones irreducibles Δ = Δ + ⊕ Δ , llamadas representaciones de Weyl o de medio espín .
Las representaciones irreducibles sobre los reales en el caso en que V es un espacio vectorial real son mucho más complejas, y se remite al lector al artículo de álgebra de Clifford para obtener más detalles.
Grupos de giros
Los espinores forman un espacio vectorial , generalmente sobre los números complejos , equipado con una representación de grupo lineal del grupo de espín que no factoriza a través de una representación del grupo de rotaciones (ver diagrama). El grupo de giro es el grupo de rotaciones que realiza un seguimiento de la clase de homotopía. Los espinores son necesarios para codificar información básica sobre la topología del grupo de rotaciones porque ese grupo no está simplemente conectado , sino que el grupo de espín simplemente conectado es su doble cobertura . Entonces, para cada rotación hay dos elementos del grupo de giro que la representan. Los vectores geométricos y otros tensores no pueden sentir la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos opuestos cuando afectan cualquier espinor debajo de la representación. Pensando en los elementos del grupo de espín como clases de homotopía de familias de rotaciones de un parámetro, cada rotación está representada por dos clases de homotopía distintas de caminos hacia la identidad. Si una familia de rotaciones de un parámetro se visualiza como una cinta en el espacio, con el parámetro de longitud de arco de esa cinta como parámetro (su marco tangente, normal y binormal en realidad da la rotación), entonces estas dos clases de homotopía distintas se visualizan en los dos estados del acertijo del truco del cinturón (arriba). El espacio de espinores es un espacio vectorial auxiliar que puede construirse explícitamente en coordenadas, pero que en última instancia solo existe hasta el isomorfismo en el sentido de que no existe una construcción "natural" de ellos que no dependa de elecciones arbitrarias como los sistemas de coordenadas. Una noción de espinores se puede asociar, como tal objeto matemático auxiliar, con cualquier espacio vectorial equipado con una forma cuadrática , como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar , o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz . En el último caso, las "rotaciones" incluyen los impulsos de Lorentz , pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar.
Campos de espino en física
Se puede pensar que las construcciones dadas anteriormente, en términos del álgebra de Clifford o la teoría de la representación, definen los espinores como objetos geométricos en el espacio-tiempo de dimensión cero . Para obtener los espinores de la física, como el espino de Dirac , se amplía la construcción para obtener una estructura de espín en el espacio-tiempo de 4 dimensiones ( espacio de Minkowski ). Efectivamente, uno comienza con la variedad tangente del espacio-tiempo, cada punto del cual es un espacio vectorial de 4 dimensiones con simetría SO (3,1), y luego construye el grupo de espín en cada punto. Los vecindarios de puntos están dotados de conceptos de suavidad y diferenciabilidad: la construcción estándar es la de un haz de fibras, cuyas fibras son espacios afines que se transforman bajo el grupo de espín. Después de construir el haz de fibras, se pueden considerar ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Dirac o la ecuación de Weyl en el haz de fibras. Estas ecuaciones (Dirac o Weyl) tienen soluciones que son ondas planas , que tienen simetrías características de las fibras, es decir , que tienen las simetrías de espinores, como se obtiene de la teoría de representación de álgebra / espín de Clifford (dimensión cero) descrita anteriormente. Tales soluciones de onda plana (u otras soluciones) de las ecuaciones diferenciales pueden entonces llamarse fermiones ; los fermiones tienen las cualidades algebraicas de los espinores. Por convención general, los términos "fermión" y "espinor" a menudo se usan indistintamente en física, como sinónimos entre sí.
Parece que todas las partículas fundamentales en la naturaleza que son spin-1/2 están descritas por la ecuación de Dirac, con la posible excepción del neutrino . No parece haber ninguna razón a priori por la que este sea el caso. Una elección perfectamente válida para los espinores sería la versión no compleja de Cℓ 2,2 ( ℝ ) , el espinor de Majorana . [5] Tampoco parece haber ninguna prohibición particular de que los espinores de Weyl aparezcan en la naturaleza como partículas fundamentales.
Los espinores de Dirac, Weyl y Majorana están interrelacionados y su relación puede dilucidarse sobre la base del álgebra geométrica real. [6] Los espinores de Dirac y Weyl son representaciones complejas, mientras que los espinores de Majorana son representaciones reales.
Los espinores de Weyl son insuficientes para describir partículas masivas, como los electrones , ya que las soluciones de ondas planas de Weyl necesariamente viajan a la velocidad de la luz; para partículas masivas, se necesita la ecuación de Dirac . La construcción inicial del modelo estándar de física de partículas comienza con el electrón y el neutrino como espinores de Weyl sin masa; el mecanismo de Higgs da masa a los electrones; el neutrino clásico permaneció sin masa y, por lo tanto, fue un ejemplo de un espinor de Weyl. [q] Sin embargo, debido a la oscilación de neutrinos observada , ahora se cree que no son espinores de Weyl, sino quizás espinores de Majorana. [7] No se sabe si existen en la naturaleza partículas de espinor fundamental de Weyl.
La situación de la física de la materia condensada es diferente: se pueden construir "espaciotiempos" bidimensionales y tridimensionales en una gran variedad de materiales físicos diferentes, que van desde semiconductores hasta materiales mucho más exóticos. En 2015, un equipo internacional dirigido por científicos de la Universidad de Princeton anunció que habían encontrado una cuasipartícula que se comporta como un fermión de Weyl. [8]
Espinores en la teoría de la representación
Una aplicación matemática importante de la construcción de espinores es hacer posible la construcción explícita de representaciones lineales de las álgebras de Lie de los grupos ortogonales especiales y, en consecuencia, representaciones de espino de los propios grupos. En un nivel más profundo, se ha encontrado que los espinores son el núcleo de las aproximaciones al teorema del índice de Atiyah-Singer y proporcionan construcciones en particular para representaciones en series discretas de grupos semisimple .
Las representaciones de espín de las álgebras de Lie ortogonales especiales se distinguen de las representaciones de tensor dadas por la construcción de Weyl por los pesos . Mientras que las ponderaciones de las representaciones de tensor son combinaciones lineales enteras de las raíces del álgebra de Lie, las de las representaciones de espín son combinaciones lineales de medio entero de las mismas. Los detalles explícitos se pueden encontrar en el artículo de representación de giro .
Intentos de comprensión intuitiva
El espinor se puede describir, en términos simples, como "vectores de un espacio cuyas transformaciones están relacionadas de una manera particular con las rotaciones en el espacio físico". [9] Dicho de otra manera:
Spinors ... proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, cada espinor tiene componentes donde o . [2]
Se han formulado varias formas de ilustrar las analogías cotidianas en términos del truco del plato , los tangloides y otros ejemplos de entrelazamiento de orientación .
No obstante, el concepto generalmente se considera notoriamente difícil de entender, como lo ilustra la declaración de Michael Atiyah que narra el biógrafo de Dirac, Graham Farmelo:
Nadie comprende completamente los espinores. Su álgebra se entiende formalmente, pero su significado general es misterioso. En cierto sentido, describen la "raíz cuadrada" de la geometría y, así como la comprensión de la raíz cuadrada de -1 tomó siglos, lo mismo podría ser cierto para los espinores. [10]
Historia
La forma matemática más general de espinores fue descubierta por Élie Cartan en 1913. [11] La palabra "espino" fue acuñada por Paul Ehrenfest en su trabajo sobre física cuántica . [12]
Los espinores fueron aplicados por primera vez a la física matemática por Wolfgang Pauli en 1927, cuando introdujo sus matrices de espín . [13] Al año siguiente, Paul Dirac descubrió la teoría completamente relativista del espín electrónico al mostrar la conexión entre los espinores y el grupo de Lorentz . [14] En la década de 1930, Dirac, Piet Hein y otros en el Instituto Niels Bohr (entonces conocido como el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Copenhague) crearon juguetes como Tangloids para enseñar y modelar el cálculo de espinores.
Los espacios de espinor fueron representados como ideales izquierdos de un álgebra matricial en 1930, por G. Juvet [15] y por Fritz Sauter . [16] [17] Más específicamente, en lugar de representar espinores como vectores de columna 2D de valor complejo como lo había hecho Pauli, los representaron como matrices 2 × 2 de valor complejo en las que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero. De esta manera, el espacio de espinor se convirtió en un ideal mínimo izquierdo en Mat (2, ℂ ) . [r] [19]
En 1947, Marcel Riesz construyó espacios de espino como elementos de un ideal mínimo de izquierda de las álgebras de Clifford . En 1966/1967, David Hestenes [20] [21] reemplazó los espacios de espinor por la subálgebra par Cℓ 0 1,3 ( ℝ ) del álgebra espaciotemporal Cℓ 1,3 ( ℝ ). [17] [19] A partir de la década de 1980, el grupo de física teórica en Birkbeck College alrededor de David Bohm y Basil Hiley ha estado desarrollando enfoques algebraicos para la teoría cuántica que se basan en la identificación de Sauter y Riesz de espinores con ideales mínimos izquierdos.
Ejemplos de
Algunos ejemplos simples de espinores en dimensiones bajas surgen al considerar las subálgebras de grado uniforme del álgebra de Clifford Cℓ p , q ( ℝ ) . Ésta es un álgebra construida a partir de una base ortonormal de n = p + q vectores mutuamente ortogonales bajo suma y multiplicación, p de los cuales tienen norma +1 yq de los cuales tienen norma -1, con la regla del producto para los vectores base
Dos dimensiones
El álgebra de Clifford Cℓ 2,0 ( ℝ ) se construye a partir de una unidad escalar, 1, dos vectores unitarios ortogonales, σ 1 y σ 2 , y una unidad pseudoescalar i = σ 1 σ 2 . De las definiciones anteriores, es evidente que ( σ 1 ) 2 = ( σ 2 ) 2 = 1 , y ( σ 1 σ 2 ) ( σ 1 σ 2 ) = - σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 = −1 .
La subálgebra par Cℓ 0 2,0 ( ℝ ), dividida por elementos de base de grado uniforme de Cℓ 2,0 ( ℝ ), determina el espacio de espinores a través de sus representaciones. Se compone de combinaciones lineales reales de 1 y σ 1 σ 2 . Como álgebra real, Cℓ 0 2,0 ( ℝ ) es isomorfo al campo de los números complejos ℂ . Como resultado, admite una operación de conjugación (análoga a la conjugación compleja ), a veces llamada el reverso de un elemento de Clifford, definido por
que, por las relaciones de Clifford, puede escribirse
La acción de un elemento par de Clifford γ ∈ Cℓ 0 2,0 ( ℝ ) sobre los vectores, considerados como elementos de grado 1 de Cℓ 2,0 ( ℝ ), se determina mapeando un vector general u = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 al vector
donde γ ∗ es el conjugado de γ , y el producto es la multiplicación de Clifford. En esta situación, un espinor [s] es un número complejo ordinario. La acción de γ sobre un espino φ viene dada por una multiplicación compleja ordinaria:
- .
Una característica importante de esta definición es la distinción entre vectores ordinarios y espinores, que se manifiesta en cómo los elementos de grado uniforme actúan sobre cada uno de ellos de diferentes maneras. En general, una revisión rápida de las relaciones de Clifford revela que los elementos de grado uniforme se conjugan y conmutan con vectores ordinarios:
Por otro lado, en comparación con la acción sobre los espinores γ ( φ ) = γφ , γ sobre los vectores ordinarios actúa como el cuadrado de su acción sobre los espinores.
Considere, por ejemplo, la implicación que esto tiene para las rotaciones de planos. Rotación de un vector a través de un ángulo de θ corresponde a γ 2 = exp ( θ σ 1 σ 2 ) , de modo que la acción correspondiente en espinores es a través de γ = ± exp ( θ σ 1 σ 2 /2) . En general, debido a la ramificación logarítmica , es imposible elegir un signo de forma coherente. Por tanto, la representación de las rotaciones de los planos en los espinores tiene dos valores.
En aplicaciones de espinores en dos dimensiones, es común explotar el hecho de que el álgebra de elementos de grado par (que es solo el anillo de números complejos) es idéntica al espacio de espinores. Entonces, por abuso del lenguaje , los dos a menudo se combinan. Entonces se puede hablar de "la acción de un espinor sobre un vector". En un entorno general, tales declaraciones no tienen sentido. Pero en las dimensiones 2 y 3 (aplicadas, por ejemplo, a los gráficos por computadora ) tienen sentido.
- Ejemplos de
- El elemento uniforme
- corresponde a una rotación vectorial de 90 ° desde σ 1 alrededor hacia σ 2 , que se puede verificar confirmando que
- Corresponde a una rotación del espinor de solo 45 °, sin embargo:
- De manera similar, el elemento uniforme γ = - σ 1 σ 2 corresponde a una rotación vectorial de 180 °:
- pero una rotación de espinor de solo 90 °:
- Continuando más adelante, el elemento uniforme γ = −1 corresponde a una rotación vectorial de 360 °:
- pero una rotación del spinor de 180 °.
Tres dimensiones
El álgebra de Clifford Cℓ 3,0 ( ℝ ) se construye a partir de una unidad escalar, 1, tres vectores unitarios ortogonales, σ 1 , σ 2 y σ 3 , los tres bivectores unitarios σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 y el pseudoescalar i = σ 1 σ 2 σ 3 . Es sencillo demostrar que ( σ 1 ) 2 = ( σ 2 ) 2 = ( σ 3 ) 2 = 1 , y ( σ 1 σ 2 ) 2 = ( σ 2 σ 3 ) 2 = ( σ 3 σ 1 ) 2 = ( σ 1 σ 2 σ 3 ) 2 = −1 .
La subálgebra de elementos de grado uniforme se compone de dilataciones escalares,
y rotaciones vectoriales
dónde
- (1)
corresponde a una rotación vectorial a través de un ángulo θ alrededor de un eje definido por un vector unitario v = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 + a 3 σ 3 .
Como caso especial, es fácil ver que, si v = σ 3 , esto reproduce la rotación σ 1 σ 2 considerada en la sección anterior; y que dicha rotación deja los coeficientes de los vectores en la dirección σ 3 invariantes, ya que
![{\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf41676a84bad923febc2a5ba2ed73ab21e6b834)
Los bivectores σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 y σ 1 σ 2 son de hecho los cuaterniones i , j y k de Hamilton , descubiertos en 1843:
Con la identificación de los elementos con grados pares con el álgebra ℍ de cuaterniones, como en el caso de dos dimensiones, la única representación del álgebra de elementos con grados pares es sobre sí misma. [t] Por tanto, los espinores ( [u] reales ) en tres dimensiones son cuaterniones, y la acción de un elemento de grado par en un espino viene dada por la multiplicación cuaterniónica ordinaria.
Tenga en cuenta que la expresión (1) para una rotación vectorial a través de un ángulo θ , el ángulo que aparece en γ se redujo a la mitad . Por lo tanto, la rotación del espinor γ ( ψ ) = γ multiplica (multiplicación cuaterniónica ordinaria) rotará el espinor ψ en un ángulo de la mitad de la medida del ángulo de la rotación del vector correspondiente. Una vez más, el problema de elevar una rotación vectorial a una rotación de espinor tiene dos valores: la expresión (1) con (180 ° + θ / 2) en lugar de θ / 2 producirá la misma rotación vectorial, pero el negativo de la rotación del espinor.
La representación de espinor / cuaternión de rotaciones en 3D se está volviendo cada vez más frecuente en la geometría de la computadora y otras aplicaciones, debido a la notable brevedad de la matriz de espín correspondiente, y la simplicidad con la que se pueden multiplicar para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes.
Construcciones explícitas
Un espacio de espinores se puede construir explícitamente con construcciones concretas y abstractas. La equivalencia de estas construcciones es una consecuencia de la unicidad de la representación espinor del álgebra de Clifford compleja. Para ver un ejemplo completo en la dimensión 3, consulte espinores en tres dimensiones .
Espinores componentes
Dado un espacio vectorial V y una forma cuadrática g, una representación matricial explícita del álgebra de Clifford Cℓ ( V , g ) se puede definir de la siguiente manera. Elija una base ortonormal e 1 … e n para V, es decir, g ( e μ e ν ) = η μν donde η μμ = ± 1 y η μν = 0 para μ ≠ ν . Sea k = ⌊ n / 2⌋ . Fije un conjunto de matrices de 2 k × 2 k γ 1 … γ n tal que γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μν 1 (es decir, fije una convención para las matrices gamma ). Entonces la asignación e μ → γ μ se extiende únicamente a un homomorfismo de álgebra Cℓ ( V , g ) → Mat (2 k , ℂ ) enviando el monomio e μ 1 ⋅⋅⋅ e μ k en el álgebra de Clifford al producto γ μ 1 ⋅⋅⋅ γ μ k de matrices y extendiéndose linealmente. El espacio Δ = ℂ 2 k sobre el que actúan las matrices gamma es ahora un espacio de espinores. Sin embargo, es necesario construir tales matrices explícitamente. En la dimensión 3, definir las matrices gamma como las matrices sigma de Pauli da lugar a los conocidos espinores de dos componentes utilizados en la mecánica cuántica no relativista . Del mismo modo, el uso de matrices gamma de Dirac de 4 × 4 da lugar a los espinores de Dirac de 4 componentes utilizados en la teoría de campos cuánticos relativistas de 3 + 1 dimensiones . En general, para definir matrices gamma del tipo requerido, se pueden utilizar las matrices de Weyl-Brauer .
En esta construcción, la representación del álgebra de Clifford Cℓ ( V , g ) , el álgebra de Lie entonces ( V , g ) y el grupo Spin Spin ( V , g ) , todos dependen de la elección de la base ortonormal y la elección de las matrices gamma. Esto puede causar confusión sobre las convenciones, pero las invariantes como las trazas son independientes de las opciones. En particular, todas las cantidades observables físicamente deben ser independientes de tales elecciones. En esta construcción, un espinor se puede representar como un vector de 2 k números complejos y se denota con índices de espinor (generalmente α , β , γ ). En la literatura de física, los índices de espinores abstractos se utilizan a menudo para denotar espinores incluso cuando se utiliza una construcción de espinores abstractos.
Espinores abstractos
Hay al menos dos formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de definir los espinores de manera abstracta. Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción izquierda de Cℓ ( V , g ) sobre sí mismo. Estos son subespacios del álgebra de Clifford de la forma Cℓ ( V , g ) ω , admitiendo la acción evidente de Cℓ ( V , g ) por multiplicación por la izquierda: c : xω → cxω . Hay dos variaciones sobre este tema: uno puede encontrar un elemento primitivo ω que sea un elemento nilpotente del álgebra de Clifford, o uno que sea idempotente . La construcción a través de elementos nilpotentes es más fundamental en el sentido de que a partir de ellos se puede producir un idempotente. [22] De esta manera, las representaciones de espinor se identifican con ciertos subespacios del álgebra de Clifford en sí. El segundo enfoque es construir un espacio vectorial usando un subespacio distinguido de V y luego especificar la acción del álgebra de Clifford externamente a ese espacio vectorial.
En uno u otro enfoque, la idea fundamental es la de un subespacio isotrópico W . Cada construcción depende de una libertad inicial en la elección de este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no hay ningún protocolo de medición que se puede especificar una base del espacio de giro, incluso si una base preferida de V se da.
Como antes, dejamos que ( V , g ) sea un espacio vectorial complejo n- dimensional equipado con una forma bilineal no degenerada. Si V es un espacio vectorial real, entonces reemplazamos V por su complexificación V ⊗ ℝ ℂ y dejemos que g denote la forma bilineal inducida en V ⊗ ℝ ℂ . Sea W un subespacio isotrópico máximo, es decir, un subespacio máximo de V tal que g | W = 0 . Si n = 2 k es par, luego dejar que W ' sea un subespacio complementaria isotrópica a W . Si n = 2 k + 1 es impar, sea W ′ un subespacio isotrópico máximo con W ∩ W ′ = 0 , y sea U el complemento ortogonal de W ⊕ W ′ . Tanto en los casos de dimensiones pares como impares, W y W ' tienen dimensión k . En el caso de las dimensiones impares, U es unidimensional, generado por un vector unitario u .
Ideales mínimos
Dado que W ′ es isotrópico, la multiplicación de elementos de W ′ dentro de Cℓ ( V , g ) es sesgada . Por lo tanto, los vectores en W ′ anti-conmutación, y Cℓ ( W ′ , g | W ′ ) = Cℓ ( W ′ , 0) es solo el álgebra exterior Λ ∗ W ′ . En consecuencia, el producto k- veces de W ′ consigo mismo, W ′ k , es unidimensional. Sea ω un generador de W ′ k . En términos de una base w ′ 1 ,…, w ′ k de en W ′ , una posibilidad es establecer
Tenga en cuenta que ω 2 = 0 (es decir, ω es nilpotente de orden 2), y además, w ′ ω = 0 para todo w ′ ∈ W ′ . Los siguientes hechos se pueden probar fácilmente:
- Si n = 2 k , entonces el ideal izquierdo Δ = Cℓ ( V , g ) ω es un ideal mínimo izquierdo. Además, esto se divide en los dos espacios de espín Δ + = Cℓ par ω y Δ - = Cℓ impar ω en la restricción a la acción del álgebra de Clifford par.
- Si n = 2 k + 1 , entonces la acción del vector unitario u en el ideal izquierdo Cℓ ( V , g ) ω descompone el espacio en un par de autoespacios isomórficos irreducibles (ambos denotados por Δ), correspondientes a los respectivos autovalores + 1 y -1.
En detalle, suponga, por ejemplo, que n es par. Suponga que I es un ideal izquierdo distinto de cero contenido en Cℓ ( V , g ) ω . Vamos a demostrar que I debe ser igual a Cℓ ( V , g ) ω probando que contiene un múltiplo no cero escalar de ω .
Fije una base w i de W y una base complementaria w i ′ de W ′ para que
- w i w j ′ + w j ′ w i = δ ij , y
- ( w i ) 2 = 0, ( w i ′) 2 = 0.
Tenga en cuenta que cualquier elemento de I debe tener la forma αω , en virtud de nuestra suposición de que I ⊂ Cℓ ( V , g ) ω . Sea αω ∈ I cualquiera de esos elementos. Usando la base elegida, podemos escribir
donde a i 1 … i p son escalares y B j son elementos auxiliares del álgebra de Clifford. Observe ahora que el producto
Escoja cualquier distinto de cero monomio una en la expansión de α con grado homogénea máxima en los elementos de W i :
- (sin suma implícita),
luego
es un múltiplo escalar distinto de cero de ω , según sea necesario.
Tenga en cuenta que para n par, este cálculo también muestra que
- .
como un espacio vectorial. En la última igualdad usamos nuevamente que W es isotrópico. En términos físicos, esto muestra que Δ se construye como un espacio de Fock mediante la creación de espinores utilizando operadores de creación anti-desplazamientos en W que actúan en un vacío ω .
Construcción de álgebra exterior
Los cálculos con la construcción mínimo ideales sugieren que una representación spinor también se puede definir directamente usando el álgebra exterior Λ * W = ⊕ j Λ j W de la isotrópico subespacio W . Sea Δ = Λ ∗ W el álgebra exterior de W considerado como espacio vectorial únicamente. Esta será la representación de espín y sus elementos se denominarán espinores. [23] [24]
La acción del álgebra de Clifford en Δ se define primero dando la acción de un elemento de V en Δ, y luego mostrando que esta acción respeta la relación de Clifford y, por lo tanto, se extiende a un homomorfismo del álgebra de Clifford completo en el anillo de endomorfismo End ( Δ) por la propiedad universal de las álgebras de Clifford . Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de V es par o impar.
Cuando dim ( V ) es par, V = W ⊕ W ′ donde W ′ es el complemento isotrópico elegido. Por tanto, cualquier v ∈ V se descompone únicamente como v = w + w ′ con w ∈ W y w ′ ∈ W ′ . La acción de v sobre un espinor está dada por
donde i ( w ′ ) es el producto interior con w ′ usando la forma cuadrática no degenerada para identificar V con V ∗ , y ε ( w ) denota el producto exterior . Esta acción a veces se denomina producto de Clifford . Puede comprobarse que
y así c respeta las relaciones de Clifford y se extiende a un homomorfismo desde el álgebra de Clifford hasta End (Δ).
La representación de espín Δ se descompone en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo Spin [25] (las representaciones de medio espín, o espinores de Weyl) a través de
- .
Cuando dim ( V ) es impar, V = W ⊕ U ⊕ W ' , donde U es atravesado por un vector unitario u ortogonal a W . La acción de Clifford c se define como antes en W ⊕ W ′ , mientras que la acción de Clifford de (múltiplos de) u está definida por
Como antes, se verifica que c respeta las relaciones de Clifford y, por lo tanto, induce un homomorfismo.
Espinores y espacios vectoriales hermitianos
Si el espacio vectorial V tiene una estructura adicional que proporciona una descomposición de su complexificación en dos subespacios isotrópicos máximos, entonces la definición de espinores (por cualquier método) se vuelve natural.
El ejemplo principal es el caso de que el espacio vectorial real V es un espacio vectorial hermitiana ( V , h ) , es decir, V está equipado con una estructura compleja J que es una transformación ortogonal con respecto al producto interior g en V . Entonces V ⊗ ℝ ℂ divide en las ± i eigenspaces de J . Estos espacios propios son isótropos para la complexificación de gy pueden identificarse con el espacio vectorial complejo ( V , J ) y su conjugado complejo ( V , - J ) . Por lo tanto, para un espacio vectorial hermitiano ( V , h ) el espacio vectorial Λ⋅
ℂV (así como su complejo conjugado Λ⋅
ℂV ) es un espacio espinor para el espacio vectorial euclidiano real subyacente.
Con la acción de Clifford como arriba pero con la contracción usando la forma hermitiana, esta construcción da un espacio de espinor en cada punto de una variedad casi hermitiana y es la razón por la cual cada variedad casi compleja (en particular cada variedad simpléctica ) tiene una estructura de Spin c . Del mismo modo, cada paquete de vectores complejos en una variedad lleva una estructura Spin c . [26]
Descomposición de Clebsch-Gordan
Varias descomposiciones de Clebsch-Gordan son posibles en el producto tensorial de una representación de espín con otra. [27] Estas descomposiciones expresan el producto tensorial en términos de las representaciones alternas del grupo ortogonal.
Para el caso real o complejo, las representaciones alternas son
- Γ r = Λ r V , la representación del grupo ortogonal en tensores sesgados de rango r .
Además, para los grupos ortogonales reales, hay tres caracteres (representaciones unidimensionales)
- σ + : O ( p , q ) → {-1, 1} propuesta por σ + (R) = -1 , si R invierte la orientación espacial de V , 1, si R conserva la orientación espacial de V . ( El carácter espacial .)
- σ - : O ( p , q ) → {-1, 1} propuesta por σ - (R) = -1 , si R invierte la orientación temporal de V , 1, si R conserva la orientación temporal de V . ( El carácter temporal .)
- σ = σ + σ - . ( El personaje de orientación ).
La descomposición de Clebsch-Gordan permite definir, entre otras cosas:
- Acción de espinores sobre vectores.
- Una métrica hermitiana sobre las representaciones complejas de los grupos de espín reales.
- Un operador de Dirac en cada representación de giro.
Incluso dimensiones
Si n = 2 k es par, entonces el producto tensorial de Δ con la representación del contragrediente se descompone como
que se puede ver explícitamente considerando (en la construcción explícita) la acción del álgebra de Clifford sobre los elementos descomponibles αω ⊗ βω ′ . La formulación de la derecha se deriva de las propiedades de transformación del operador de estrella de Hodge . Tenga en cuenta que en la restricción al álgebra de Clifford par, los sumandos emparejados Γ p ⊕ σ Γ p son isomorfos, pero bajo el álgebra de Clifford completa no lo son.
Existe una identificación natural de Δ con su representación contraria a través de la conjugación en el álgebra de Clifford:
Entonces, Δ ⊗ Δ también se descompone de la manera anterior. Además, bajo el álgebra de Clifford par, las representaciones de medio espín se descomponen
Para las representaciones complejas de las álgebras de Clifford reales, la estructura de realidad asociada en el álgebra de Clifford compleja desciende al espacio de espinores (a través de la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta manera, obtenemos el complejo conjugado Δ de la representación Δ, y se ve que se cumple el siguiente isomorfismo:
En particular, tenga en cuenta que la representación Δ del grupo de espín ortocrónico es una representación unitaria . En general, hay descomposiciones de Clebsch-Gordan
En la firma métrica ( p , q ) , los siguientes isomorfismos son válidos para las representaciones conjugadas de medio espín
- Si q es par, entonces y
- Si q es impar, entonces y
Usando estos isomorfismos, se pueden deducir descomposiciones análogas para los productos tensoriales de las representaciones de medio espín Δ ± ⊗ Δ ± .
Dimensiones impares
Si n = 2 k + 1 es impar, entonces
En el caso real, una vez más el isomorfismo se mantiene
Por lo tanto, hay una descomposición de Clebsch-Gordan (nuevamente usando la estrella de Hodge para dualizar) dada por
Consecuencias
Hay muchas consecuencias de gran alcance de las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios de espinor. Los más fundamentales pertenecen a la teoría del electrón de Dirac, entre cuyos requisitos básicos se encuentran
- Una forma de considerar el producto de dos espinores ϕ ψ como un escalar. En términos físicos, un espinor debería determinar una amplitud de probabilidad para el estado cuántico .
- Una forma de considerar el producto ψ ϕ como un vector. Esta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que vincula el formalismo de espinor con la geometría del espacio físico.
- Una manera de considerar que un espinor actúa sobre un vector, mediante una expresión como ψv ψ . En términos físicos, esto representa una corriente eléctrica de la teoría electromagnética de Maxwell , o más generalmente una corriente de probabilidad .
Resumen en dimensiones reducidas
- En 1 dimensión (un ejemplo trivial), la representación de un solo espinor es formalmente Majorana, una representación unidimensional real que no se transforma.
- En 2 dimensiones euclidianas, el zurdo y el Weyl diestro spinor son de 1 componente representaciones complejas , es decir, los números complejos que se multiplican por e ± iφ / 2 bajo una rotación por el ángulo φ .
- En 3 dimensiones euclidianas, la representación de un solo espinor es bidimensional y cuaterniónica . La existencia de espinores en 3 dimensiones se deriva del isomorfismo de los grupos SU (2) ≅ Spin (3) que nos permite definir la acción de Spin (3) sobre una columna compleja de 2 componentes (un espinor); los generadores de SU (2) se pueden escribir como matrices de Pauli .
- En 4 dimensiones euclidianas, el isomorfismo correspondiente es Spin (4) ≅ SU (2) × SU (2) . Hay dos espinores Weyl cuaterniónicos de 2 componentes no equivalentes y cada uno de ellos se transforma solo bajo uno de los factores SU (2).
- En 5 dimensiones euclidianas, el isomorfismo relevante es Spin (5) ≅ USp (4) ≅ Sp (2) que implica que la representación de un solo espinor es de 4 dimensiones y cuaterniónica.
- En 6 dimensiones euclidianas, el isomorfismo Spin (6) ≅ SU (4) garantiza que hay dos representaciones de Weyl complejas de 4 dimensiones que son conjugados complejos entre sí.
- En 7 dimensiones euclidianas, la representación de un solo espinor es de 8 dimensiones y real; no existen isomorfismos a un álgebra de Lie de otra serie (A o C) a partir de esta dimensión.
- En 8 dimensiones euclidianas, hay dos representaciones reales de 8 dimensiones de Weyl-Majorana que están relacionadas con la representación del vector real de 8 dimensiones mediante una propiedad especial de Spin (8) llamada trialidad .
- En d + 8 dimensiones, el número de representaciones de espinor irreductibles distintas y su realidad (ya sean reales, pseudorreal o compleja) imita la estructura en d dimensiones, pero sus dimensiones son 16 veces mayores; esto permite comprender todos los casos restantes. Ver periodicidad de Bott .
- En el espacio -tiempo con direcciones p espaciales yq temporales, las dimensiones vistas como dimensiones sobre los números complejos coinciden con el caso del espacio euclidiano ( p + q ) -dimensional, pero las proyecciones de realidad imitan la estructura en | p - q | Dimensiones euclidianas. Por ejemplo, en 3 + 1 dimensiones hay dos espinores no equivalentes del complejo de Weyl (como en 2 dimensiones) de 2 componentes (como en 4 dimensiones), que se deriva del isomorfismo SL (2, ℂ ) ≅ Spin (3,1 ) .
| Firma métrica | Weyl, complejo | Conjugado | Dirac, complejo | Majorana – Weyl, real | Majorana, real | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zurdo | Diestro | Zurdo | Diestro | ||||
| (2,0) | 1 | 1 | Mutuo | 2 | - | - | 2 |
| (1,1) | 1 | 1 | Uno mismo | 2 | 1 | 1 | 2 |
| (3,0) | - | - | - | 2 | - | - | - |
| (2,1) | - | - | - | 2 | - | - | 2 |
| (4,0) | 2 | 2 | Uno mismo | 4 | - | - | - |
| (3,1) | 2 | 2 | Mutuo | 4 | - | - | 4 |
| (5,0) | - | - | - | 4 | - | - | - |
| (4,1) | - | - | - | 4 | - | - | - |
| (6,0) | 4 | 4 | Mutuo | 8 | - | - | 8 |
| (5,1) | 4 | 4 | Uno mismo | 8 | - | - | - |
| (7,0) | - | - | - | 8 | - | - | 8 |
| (6,1) | - | - | - | 8 | - | - | - |
| (8,0) | 8 | 8 | Uno mismo | dieciséis | 8 | 8 | dieciséis |
| (7,1) | 8 | 8 | Mutuo | dieciséis | - | - | dieciséis |
| (9,0) | - | - | - | dieciséis | - | - | dieciséis |
| (8,1) | - | - | - | dieciséis | - | - | dieciséis |
Ver también
- Anyon
- Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico
- Eigenspinor
- Teoría de Einstein-Cartan
- Representación proyectiva
- Espinor puro
- Spin-½
- Paquete Spinor
- Sobrealimentar
- Teoría de twistor
Notas
- ^ Los espinores en tres dimensiones son puntos de un haz de líneas sobre una cónica en el plano proyectivo. En esta imagen, que está asociada a espinores de un espacio pseudoeuclidiano tridimensional de firma (1,2), la cónica es una cónica real ordinaria (aquí el círculo), el haz de líneas es el haz de Möbius y el espín grupo es SL 2 ( ℝ ). En la firma euclidiana, el plano proyectivo, la cónica y el haz de líneas están sobre el complejo, y esta imagen es solo un corte real.
- ^ Los espinores siempre se pueden definir sobre los números complejos. Sin embargo, en algunas firmas existen espinores reales. Los detalles se pueden encontrar en la representación de giro .
- ^ Una definición formal de espinores en este nivel es que el espacio de espinores es una representación lineal del álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales de cierto tipo .
- ^ "Los espinores fueron utilizados por primera vez con ese nombre, por los físicos, en el campo de la Mecánica Cuántica. En su forma más general, los espinores fueron descubiertos en 1913 por el autor de este trabajo, en sus investigaciones sobre las representaciones lineales de grupos simples *; proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, cada espinor tiene componentes donde o . " [2] La estrella (*) se refiere a Cartan (1913).
- ↑ Más precisamente, son los fermiones de espín-1/2 los que son descritos por espinores, lo cual es cierto tanto en la teoría relativista como en la no relativista. La función de onda del electrón no relativista tiene valores en espinores de 2 componentes que se transforman bajo rotaciones infinitesimales tridimensionales. La ecuación relativista de Dirac para el electrón es una ecuación para espinores de 4 componentes que se transforman bajo transformaciones infinitesimales de Lorentz, para las cuales existe una teoría de espinores sustancialmente similar.
- ^ Formalmente, el grupo de espín es el grupo de clases de homotopía relativa con puntos finales fijos en el grupo de rotación.
- ^ Más formalmente, el espacio de espinores se puede definir como unarepresentación( irreducible ) del grupo de espín que no factoriza a través de una representación del grupo de rotación (en general, el componente conectado de la identidad del grupo ortogonal ).
- ^ Álgebra geométrica es un nombre para el álgebra de Clifford en un entorno aplicado.
- ^ Las matrices de Pauli corresponden aoperadores de momentos angulares sobre los tres ejes de coordenadas. Esto las convierte en matrices gamma ligeramente atípicas porque además de su relación de anticonmutación también satisfacen relaciones de conmutación.
- ^ La firma métrica también es relevante si estamos interesados en espinores reales. Ver representación de giro .
- ^ Que la representación se descomponga depende de si se consideran representaciones del grupo de espín (o su álgebra de Lie), en cuyo caso se descompone en dimensiones pares pero no impares, o el álgebra de Clifford cuando es al revés. También pueden existir otras estructuras distintas de esta descomposición; Se cubren criterios precisos en la representación de espín y el álgebra de Clifford .
- ^ El marco TNB de la cinta define una rotación de forma continua para cada valor del parámetro de longitud de arco.
- ^ Este es el conjunto de matrices hermitianas complejas sin trazas 2 × 2.
- ^ Excepto por un núcleo de correspondiente a los dos elementos diferentes del grupo de giro que van a la misma rotación.
- ^ Por tanto, la ambigüedad en la identificación de los propios espinores persiste desde el punto de vista de la teoría de grupos y aún depende de las elecciones.
- ^ Al álgebra de Clifford se le puede dar una calificación par / impar apartir de la paridad del grado en los gammas, y el grupo de espín y su álgebra de Lie se encuentran en la parte par. Ya sea que aquí por "representación" entendamos representaciones del grupo de espín o el álgebra de Clifford afectará la determinación de su reducibilidad. También pueden existir otras estructuras además de esta división; Se cubren criterios precisos en la representación de espín y el álgebra de Clifford .
- ^ Más precisamente, el electrón comienza como dos espinores de Weyl sin masa, izquierdo y derecho. Al romperse la simetría, ambos ganan masa y se acoplan para formar un espinor de Dirac.
- ^ Las matrices de dimensión N × N en las que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero forman un ideal de la izquierda en elálgebra de matrices N × N Mat ( N , ℂ ) - multiplicando dicha matriz M desde la izquierda con cualquier N × N matriz A da el resultado AM que es nuevamente unamatriz N × N en la que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero. Además, se puede demostrar que es un ideal mínimo izquierdo . [18]
- ^ Estos son los espinores Weyl diestros en dos dimensiones. Para los espinores de Weyl zurdos, la representación es a través de γ ( ϕ ) = γ ϕ . Los espinores de Majorana son la representación real subyacente común para las representaciones de Weyl.
- ^ Dado que, para un campo sesgado , el núcleo de la representación debe ser trivial. Entonces, las representaciones no equivalentes solo pueden surgir a través de un automorfismo del campo de sesgo. En este caso, hay un par de representaciones equivalentes: γ ( ϕ ) = γϕ , y su conjugado cuaterniónico γ ( ϕ ) = ϕ γ .
- ^ Los espinores complejos se obtienen como las representaciones del producto tensorial ℍ ⊗ ℝ ℂ = Mat 2 ( ℂ ) . Estos se consideran con más detalle en espinores en tres dimensiones .
Referencias
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- ^ Véase también: Pertti Lounesto: álgebras y espinores de Clifford , London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, segunda edición 2001, ISBN 978-0-521-00551-7 , pág. 52
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- ↑ Esta construcción se debe a Cartan (1913). El tratamiento aquí se basa en Chevalley (1954).
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