En geometría elíptica , dos líneas son líneas paralelas o paratácticas de Clifford si la distancia perpendicular entre ellas es constante de un punto a otro. El concepto fue estudiado por primera vez por William Kingdon Clifford en el espacio elíptico y aparece solo en espacios de al menos tres dimensiones. Dado que las líneas paralelas tienen la propiedad de equidistancia, el término "paralelo" fue apropiado de la geometría euclidiana , aunque las "líneas" de la geometría elíptica son curvas geodésicas y, a diferencia de las líneas de la geometría euclidiana , son de longitud finita.
El álgebra de cuaterniones proporciona una geometría descriptiva del espacio elíptico en el que se hace explícito el paralelismo de Clifford.
Introducción
Las líneas en 1 en el espacio elíptico son descritas por versores con un eje fijo r : [1]
Para un punto arbitrario u en el espacio elíptico, dos paralelos de Clifford a esta línea pasan por u . El paralelo derecho de Clifford es
y el paralelo de Clifford izquierdo es
Superficies Clifford
Al girar una línea sobre otra, a la que es paralela a Clifford, se crea una superficie de Clifford.
Los paralelos de Clifford a través de puntos en la superficie se encuentran todos en la superficie. Una superficie de Clifford es, por tanto, una superficie reglada, ya que cada punto está en dos líneas, cada una contenida en la superficie.
Dados dos raíces cuadradas de menos uno en los cuaterniones , escrito r y s , la superficie Clifford a través de ellos está dada por [1] [2]
Historia
Los paralelos de Clifford fueron descritos por primera vez en 1873 por el matemático inglés William Kingdon Clifford . [3]
En 1900 Guido Fubini escribió su tesis doctoral sobre el paralelismo de Clifford en espacios elípticos . [4]
En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf . [5]
En 2016 Hans Havlicek demostró que existe una correspondencia uno a uno entre los paralelismos de Clifford y los planos externos al cuádrico de Klein . [6]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Georges Lemaître (1948) "Quaternions et espace elliptique", Acta Pontificia Academia de Ciencias 12: 57–78
- ^ Sinopsis en inglés de HSM Coxeter de Lemaître en revisiones matemáticas
- ^ William Kingdon Clifford (1882) Papeles matemáticos , 189–93, Macmillan & Co.
- ^ Guido Fubini (1900) DH Delphenich traductor Clifford Paralelismo en espacios elípticos , Tesis de Laurea, Pisa.
- ^ Roger Penrose ; The Road to Reality , Vintage, 2005, págs. 334-6. (Publicado por primera vez en Jonathan Cape, 2004).
- ^ Hans Havlicek (2016) "Paralelismos y planos de Clifford externos al cuádrico de Klein", Journal of Geometry 107 (2): 287 a 303 MR 3519950
- Laptev, BL & BA Rozenfel'd (1996) Matemáticas del siglo XIX: geometría , página 74, Birkhäuser VerlagISBN 3-7643-5048-2 .
- JA Tyrrell y JG Semple (1971) Paralelismo generalizado de Clifford , Cambridge University PressISBN 0-521-08042-8 .
- Duncan Sommerville (1914) Los elementos de la geometría no euclidiana , página 108 Líneas paratácticas, George Bell & Sons
- Frederick S. Woods (1917) Higher Geometry , "Clifford paralels", página 255, a través de Internet Archive