En topología geométrica , el toro de Clifford es la incrustación plana más simple y simétrica del producto cartesiano de dos círculos S1
ay S1
b(en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es "plana"). Lleva el nombre de William Kingdon Clifford . Reside en R 4 , a diferencia de R 3 . Para ver por qué es necesario R 4 , tenga en cuenta que si S1
ay S1
bcada uno existe en su propio espacio de incrustación independiente R2
ay R2
b, el espacio de producto resultante será R 4 en lugar de R 3 . La visión históricamente popular de que el producto cartesiano de dos círculos es un toro R 3, en contraste, requiere la aplicación altamente asimétrica de un operador de rotación al segundo círculo, ya que ese círculo solo tendrá un eje independiente z disponible después de que el primer círculo consuma x y y .
Dicho de otra manera, un toro incrustado en R 3 es una proyección asimétrica de dimensión reducida del toro Clifford simétrico máximo incrustado en R 4 . La relación es similar a la de proyectar los bordes de un cubo en una hoja de papel. Tal proyección crea una imagen de dimensiones inferiores que captura con precisión la conectividad de los bordes del cubo, pero también requiere la selección arbitraria y la eliminación de uno de los tres ejes completamente simétricos e intercambiables del cubo.
Si S1
ay S1
b cada uno tiene un radio de , su producto de toro de Clifford encajará perfectamente dentro de la unidad de 3 esferas S 3 , que es una subvariedad tridimensional de R 4 . Cuando sea matemáticamente conveniente, el toro de Clifford se puede considerar que reside dentro del complejo espacio de coordenadas C 2 , ya que C 2 es topológicamente equivalente a R 4 .
El toro de Clifford es un ejemplo de un toro cuadrado , porque es isométrico a un cuadrado con lados opuestos identificados. Se le conoce además como un 2-toro euclidiano (el "2" es su dimensión topológica); las figuras dibujadas en él obedecen a la geometría euclidiana [se necesita aclaración ] como si fuera plano, mientras que la superficie de un toro común en forma de " rosquilla " está curvada positivamente en el borde exterior y curvada negativamente en el interior. Aunque tiene una geometría diferente a la incrustación estándar de un toro en el espacio euclidiano tridimensional, el toro cuadrado también puede incrustarse en un espacio tridimensional, mediante el teorema de incrustación de Nash ; una posible incrustación modifica el toro estándar mediante un conjunto fractal de ondas que corren en dos direcciones perpendiculares a lo largo de la superficie. [1]
Definicion formal
El círculo unitario S 1 en R 2 se puede parametrizar mediante una coordenada de ángulo:
En otra copia de R 2 , tome otra copia del círculo unitario
Entonces el toro de Clifford es
Dado que cada copia de S 1 es una subvariedad incrustada de R 2 , el toro de Clifford es un toro incrustado en R 2 × R 2 = R 4 .
Si R 4 está dado por las coordenadas ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ), entonces el toro de Clifford está dado por
Esto muestra que en R 4 el toro de Clifford es una subvariedad de la unidad 3-esfera S 3 .
Es fácil verificar que el toro de Clifford es una superficie mínima en S 3 .
Derivación alternativa usando números complejos
También es común considerar el toro de Clifford como un toro incrustado en C 2 . En dos copias de C , tenemos los siguientes círculos unitarios (aún parametrizados por una coordenada de ángulo):
y
Ahora el toro de Clifford aparece como
Como antes, esta es una subvariedad incrustada, en la esfera unitaria S 3 en C 2 .
Si C 2 está dado por coordenadas ( z 1 , z 2 ), entonces el toro de Clifford está dado por
En el toro de Clifford como se define arriba, la distancia de cualquier punto del toro de Clifford al origen de C 2 es
El conjunto de todos los puntos a una distancia de 1 del origen de C 2 es la unidad 3-esfera, por lo que el toro de Clifford se encuentra dentro de esta 3-esfera. De hecho, el toro de Clifford divide esta 3-esfera en dos toros sólidos congruentes (ver Heegaard splitting [2] ).
Dado que O (4) actúa sobre R 4 mediante transformaciones ortogonales , podemos mover el toro de Clifford "estándar" definido anteriormente a otros toros equivalentes mediante rotaciones rígidas. Todos estos se llaman "Clifford tori". El grupo de seis dimensiones O (4) actúa de manera transitiva en el espacio de todos esos toros de Clifford que se sientan dentro de la 3-esfera. Sin embargo, esta acción tiene un estabilizador bidimensional (ver acción de grupo ) ya que la rotación en las direcciones meridional y longitudinal de un toro conserva el toro (en lugar de moverlo a un toro diferente). Por lo tanto, en realidad hay un espacio tetradimensional de Clifford tori. [2] De hecho, existe una correspondencia biunívoca entre los tori de Clifford en la unidad 3-esfera y los pares de grandes círculos polares (es decir, grandes círculos que están separados al máximo). Dado un toro de Clifford, los grandes círculos polares asociados son los círculos centrales de cada una de las dos regiones complementarias. A la inversa, dado cualquier par de grandes círculos polares, el toro de Clifford asociado es el lugar geométrico de los puntos de la 3-esfera que son equidistantes de los dos círculos.
Definición más general de Clifford tori
Los toros planos en la unidad de 3 esferas S 3 que son el producto de círculos de radio r en un 2-plano R 2 y radio √ 1 - r 2 en otro 2-plano R 2 a veces también se denominan "toros de Clifford".
Se puede pensar que los mismos círculos tienen radios que son cos ( θ ) y sin ( θ ) para algún ángulo θ en el rango 0 ≤ θ ≤ π / 2 (donde incluimos los casos degenerados θ = 0 y θ = π / 2 ).
La unión para 0 ≤ θ ≤ π / 2 de todos estos toros de forma
(donde S ( r ) denota el círculo en el plano R 2 definido por tener centro (0, 0) y radio r ) es la 3-esfera S 3 . (Tenga en cuenta que debemos incluir los dos casos degenerados θ = 0 y θ = π / 2 , cada uno de los cuales corresponde a un gran círculo de S 3 , y que juntos constituyen un par de grandes círculos polares).
Este toro T θ se ve fácilmente que tiene un área
por lo que solo el toro T π / 4 tiene el área máxima posible de 2 π 2 . Este toro T π / 4 es el toro T θ que se denomina más comúnmente "toro de Clifford", y también es el único de los T θ que es una superficie mínima en S 3 .
Una definición aún más general de Clifford tori en dimensiones superiores
Cualquier esfera unitaria S 2 n −1 en un espacio euclidiano de dimensión par R 2 n = C n puede expresarse en términos de coordenadas complejas de la siguiente manera:
Entonces, para cualquier número no negativo r 1 , ..., r n tal que r 1 2 + ... + r n 2 = 1, podemos definir un toro de Clifford generalizado de la siguiente manera:
Estos toros de Clifford generalizados son todos inconexos entre sí. Nuevamente podemos concluir que la unión de cada uno de estos tori T r 1 , ..., r n es la unidad (2 n - 1) -esfera S 2 n −1 (donde debemos incluir nuevamente los casos degenerados donde al menos uno de los radios r k = 0).
Propiedades
- El toro de Clifford es "plano"; se puede aplanar a un plano sin estirarse, a diferencia del toro de revolución estándar.
- El toro de Clifford divide la esfera tridimensional en dos toros sólidos congruentes. (En una proyección estereográfica , el toro de Clifford aparece como un toro de revolución estándar. El hecho de que divida las 3 esferas por igual significa que el interior del toro proyectado es equivalente al exterior, que no se visualiza fácilmente).
Usos en matemáticas
En geometría simpléctica , el toro de Clifford da un ejemplo de una subvariedad lagrangiana incrustada de C 2 con la estructura simpléctica estándar. (Por supuesto, cualquier producto de círculos incrustados en C da un toro lagrangiano de C 2 , por lo que no es necesario que sean toros de Clifford).
La conjetura de Lawson establece que cada toro mínimamente incrustado en la 3-esfera con la métrica redonda debe ser un toro de Clifford. Esta conjetura fue probada por Simon Brendle en 2012.
Clifford tori y sus imágenes bajo transformaciones conformes son los minimizadores globales del funcional Willmore.
Ver también
- Duocilindro
- Fibra de Hopf
- Paralelo de Clifford y superficie de Clifford
- Reino de William Clifford
Referencias
- ↑ Borrelli, V .; Jabrane, S .; Lázaro, F .; Thibert, B. (abril de 2012), "Toros planos en el espacio tridimensional e integración convexa", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , Actas de la Academia Nacional de Ciencias, 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073 /pnas.1118478109 , PMC 3358891 , PMID 22523238.
- ^ a b Norbs, P (septiembre de 2005). "El duodécimo problema" ( PDF ) . La Gaceta de la Sociedad Australiana de Matemáticas . 32 (4): 244–246.