En geometría , el toro de Clifton-Pohl es un ejemplo de una variedad compacta de Lorentz que no es geodésicamente completa . Si bien cada variedad compacta de Riemann también es geodésicamente completa (según el teorema de Hopf-Rinow ), este espacio muestra que la misma implicación no se generaliza a las variedades pseudo-Riemannianas. [1] Lleva el nombre de Yeaton H. Clifton y William F. Pohl , quienes lo describieron en 1962 pero no publicaron su resultado. [2]
Definición
Considere el colector con la métrica
Cualquier homotecia es una isometría de, en particular incluyendo el mapa:
Dejar ser el subgrupo del grupo de isometría generado por. Luegotiene una acción adecuada y discontinua sobre. De ahí el cocienteque es topológicamente el toro , es una superficie de Lorentz que se llama toro de Clifton-Pohl. [1] A veces, por extensión, una superficie se denomina toro de Clifton-Pohl si es una cobertura finita del cociente de por cualquier homotecia de razón diferente de .
Incompletitud geodésica
Se puede verificar que la curva
es una geodésica de M que no está completa (ya que no está definida en). [1] En consecuencia, (de ahí también ) es geodésicamente incompleta, a pesar de que es compacto. Del mismo modo, la curva
es una geodésica nula que está incompleta. De hecho, cada geodésica nula en o está incompleto.
La incompletitud geodésica del toro de Clifton-Pohl se ve mejor como una consecuencia directa del hecho de que es extensible, es decir, que puede verse como un subconjunto de una superficie lorentziana más grande. Es una consecuencia directa de un simple cambio de coordenadas. Con
considerar
La métrica (es decir, la métrica expresado en las coordenadas ) lee
Pero esta métrica se extiende naturalmente desde a , dónde
La superficie , conocido como el plano extendido de Clifton-Pohl, es geodésicamente completo. [3]
Puntos conjugados
Los toros de Clifton-Pohl también son notables por el hecho de que son los únicos toros de Lorentziano no planos y sin puntos conjugados que se conocen. [3] El plano extendido de Clifton-Pohl contiene muchos pares de puntos conjugados, algunos de los cuales se encuentran en el límite de es decir, "al infinito" en . Recuerde también que, según un teorema de E. Hopf, no existe tal tori en el escenario de Riemann. [4]
Referencias
- ^ a b c O'Neill, Barrett (1983), Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad , matemáticas puras y aplicadas, 103 , Academic Press , p. 193, ISBN 9780080570570.
- ^ Wolf, Joseph A. (2011), Espacios de curvatura constante (6ª ed.), AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, p. 95, ISBN 978-0-8218-5282-8, MR 2742530.
- ^ a b Bavard, Ch .; Mounoud, P. (2013), "Surfaces lorentziennes sans points conjugués", Geometry and Topology , 17 : 469–492, doi : 10.2140 / gt.2013.17.469
- ^ Hopf, E. (1948), "Superficies cerradas sin puntos conjugados", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 34 : 47–51, Bibcode : 1948PNAS ... 34 ... 47H , doi : 10.1073 / pnas.34.2.47 , PMC 1062913 , PMID 16588785