En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría cerrada es un tipo especial de categoría .
En una categoría localmente pequeña , el hom ( x , y ) externo asigna un par de objetos a un conjunto de morfismos . Entonces, en la categoría de conjuntos , este es un objeto de la categoría en sí. En la misma línea, en una categoría cerrada, el (objeto de) morfismos de un objeto a otro puede verse como dentro de la categoría. Este es el hom [ x , y ] interno .
Cada categoría cerrada tiene un functor olvidadizo para la categoría de conjuntos, que en particular lleva el hom interno al hom externo.
Definición
Una categoría cerrada se puede definir como una categoría con un llamado functor Hom interno
con flechas de Yoneda izquierda
natural en y y dinatural en, y un objeto fijo de con un isomorfismo natural
y una transformación natural
- ,
todos satisfaciendo ciertas condiciones de coherencia.
Ejemplos de
- Las categorías cerradas cartesianas son categorías cerradas. En particular, cualquier topos está cerrado. El ejemplo canónico es la categoría de conjuntos .
- Las categorías cerradas compactas son categorías cerradas. El ejemplo canónico es la categoría FdVect con espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y mapas lineales como morfismos.
- De manera más general, cualquier categoría monoidal cerrada es una categoría cerrada. En este caso, el objeto es la unidad monoidal.
Referencias
- Eilenberg, S. & Kelly, GM Categorías cerradas Actas de la Conferencia sobre Álgebra Categórica. ( La Jolla , 1965) Springer . 1966. págs. 421–562
- Categoría cerrada en nLab