En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías cerradas compactas son un contexto general para tratar objetos duales . La idea de un objeto dual generaliza el concepto más familiar del dual de un espacio vectorial de dimensión finita . Entonces, el ejemplo motivador de una categoría cerrada compacta es FdVect , la categoría que tiene espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y mapas lineales como morfismos , con el producto tensorial como la estructura monoidal . Otro ejemplo es Rel, teniendo la categoría conjuntos como objetos y relaciones como morfismos, con estructura monoidal cartesiana .
Categoría cerrada compacta simétrica
Una categoría monoidal simétrica es compacto cerrado si cada objetotiene un objeto dual . Si esto se cumple, el objeto dual es único hasta el isomorfismo canónico , y se denota.
Con un poco más de detalle, un objeto se llama el dual desi está equipado con dos morfismos llamados unidad y el contador , satisfaciendo las ecuaciones
y
dónde son la introducción de la unidad a la izquierda y a la derecha, respectivamente, y es el asociador.
Para mayor claridad, reescribimos las composiciones anteriores en forma de diagrama. Para poder para ser compacto cerrado, necesitamos los siguientes compuestos para igualar :
y :
Definición
De manera más general, suponga es una categoría monoidal , no necesariamente simétrica, como en el caso de una gramática pregrupal . La noción anterior de tener un doblepara cada objeto A se reemplaza por el de tener un anexo derecho e izquierdo , y , con una unidad izquierda correspondiente , unidad derecha , cuenta izquierda y cuenta derecha . Estos deben satisfacer las cuatro condiciones de extracción , cada una de las cuales son identidades:
y
Es decir, en el caso general, una categoría cerrada compacta es tanto izquierda como derecha: rígida y bicerrada .
Las categorías cerradas compactas no simétricas encuentran aplicaciones en lingüística , en el área de las gramáticas categoriales y específicamente en las gramáticas pregrupales , donde se requieren los distintos adjuntos izquierdo y derecho para capturar el orden de las palabras en las oraciones. En este contexto, las categorías monoidales cerrados son llamados compactos ( Lambek ) pregroups .
Propiedades
Las categorías cerradas compactas son un caso especial de categorías cerradas monoidales , que a su vez son un caso especial de categorías cerradas .
Las categorías cerradas compactas son precisamente las categorías autónomas simétricas . También son * -autónomos .
Cada categoría C cerrada compacta admite un rastro . Es decir, para cada morfismo, uno puede definir
que se puede demostrar que es un rastro adecuado. Ayuda a dibujar esto en forma de diagrama:
Ejemplos de
El ejemplo canónico es la categoría FdVect con espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y mapas lineales como morfismos. Aquí es el dual habitual del espacio vectorial .
La categoría de representaciones de dimensión finita de cualquier grupo también es compacta cerrada.
La categoría Vect , con todos los espacios vectoriales como objetos y mapas lineales como morfismos, no es compacta cerrada; es monoidal simétrico cerrado.
Categoría simplex
La categoría simplex se puede utilizar para construir un ejemplo de categoría cerrada compacta no simétrica. La categoría símplex es la categoría de ordinales finitos distintos de cero (vistos como conjuntos totalmente ordenados ); sus morfismos son mapas que conservan el orden ( monótonos ). Lo convertimos en una categoría monoidal moviéndonos a la categoría de flecha , por lo que los objetos son morfismos de la categoría original y los morfismos son cuadrados de conmutación . Entonces, el producto tensorial de la categoría de flecha es el operador de composición original. Los adjuntos izquierdo y derecho son los operadores mínimo y máximo; específicamente, para un mapa monótono f, uno tiene el derecho adjunto
y el adjunto izquierdo
Las unidades y recuentos de la izquierda y la derecha son:
Una de las condiciones del tirón es entonces
Los otros siguen de manera similar. La correspondencia se puede aclarar escribiendo la flecha en vez de y usando para la composición de funciones .
Categoría compacta de daga
Una daga de categoría monoidal simétrica que es compacta cerrada es una daga de categoría compacta .
Categoría rígida
Una categoría monoidal que no es simétrica, pero que obedece a los axiomas de dualidad anteriores, se conoce como categoría rígida . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo (o derecho) también se denomina a veces categoría autónoma izquierda (o derecho) . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho a veces se denomina categoría autónoma . Una categoría autónoma que también es simétrica es entonces una categoría cerrada compacta.
Referencias
Kelly, GM ; Laplaza, ML (1980). "Coherencia para categorías cerradas compactas". Revista de álgebra pura y aplicada . 19 : 193–213. doi : 10.1016 / 0022-4049 (80) 90101-2 .