Lema de Yoneda
En matemáticas , el lema de Yoneda es posiblemente el resultado más importante de la teoría de categorías . [1] Es un resultado abstracto sobre funtores del tipo morfismos en un objeto fijo . Es una gran generalización del teorema de Cayley de la teoría de grupos (ver un grupo como una categoría en miniatura con un solo objeto y solo isomorfismos). Permite la incrustación de cualquier categoría localmente pequeña en una categoría de funtores (funtores de valores establecidos contravariantes) definidos en esa categoría. También aclara cómo la categoría incrustada, de funtores representablesy sus transformaciones naturales , se relaciona con los otros objetos en la categoría de funtores más grandes. Es una herramienta importante que subyace a varios desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación . Lleva el nombre de Nobuo Yoneda .
El lema de Yoneda sugiere que en lugar de estudiar la categoría localmente pequeña , se debe estudiar la categoría de todos los funtores de into (la categoría de conjuntos con funciones como morfismos ). es una categoría que creemos entender bien, y un funtor de into puede verse como una "representación" de en términos de estructuras conocidas. La categoría original está contenida en esta categoría de funtores, pero aparecen nuevos objetos en la categoría de funtores, que estaban ausentes y "ocultos" en . Tratar estos nuevos objetos como los viejos a menudo unifica y simplifica la teoría.
Este enfoque es similar (y de hecho generaliza) al método común de estudiar un anillo investigando los módulos sobre ese anillo. El anillo ocupa el lugar de la categoría , y la categoría de los módulos sobre el anillo es una categoría de funtores definidos en .
El lema de Yoneda se refiere a los funtores de una categoría fija a la categoría de conjuntos , . Si es una categoría localmente pequeña (es decir, los hom-sets son conjuntos reales y no clases propias), entonces cada objeto da lugar a un funtor natural llamado hom-funtor . Este funtor se denota:
