En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , si
es un cardenal regular incontable entonces
, el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto de clubes
, es un
-Filtro completo cerrado bajo intersección diagonal llamado filtro club .
Para ver que se trata de un filtro, tenga en cuenta que
ya que, por lo tanto, está cerrado y sin límites (ver juego de palos ). Si
entonces cualquier subconjunto de
conteniendo
también está en
, desde
, y por lo tanto todo lo que lo contenga, contiene un conjunto de palos.
Es un
-filtro completo porque la intersección de menos de
conjuntos de clubes es un conjunto de clubes. Para ver esto, suponga
es una secuencia de sets de palos donde
. Obviamente
está cerrado, ya que cualquier secuencia que aparece en
aparece en cada
, y por lo tanto su límite está también en todos los
. Para demostrar que no tiene límites, tome algunos
. Dejar
ser una secuencia creciente con
y
para cada
. Se puede construir tal secuencia, ya que cada
es ilimitado. Desde
y
es regular, el límite de esta secuencia es menor que
. Lo llamamos
y definir una nueva secuencia
similar a la secuencia anterior. Podemos repetir este proceso, obteniendo una secuencia de secuencias.
donde cada elemento de una secuencia es mayor que cada miembro de las secuencias anteriores. Entonces para cada
,
es una secuencia creciente contenida en
, y todas estas secuencias tienen el mismo límite (el límite de
). Este límite está entonces contenido en cada
, y por lo tanto
, y es mayor que
.
Para ver eso
está cerrado bajo una intersección diagonal, sea
,
ser una secuencia de conjuntos de palos, y dejar
. Mostrar
está cerrado, supongamos
y
. Entonces para cada
,
para todos
. Desde cada uno
está cerrado,
para todos
, entonces
. Mostrar
es ilimitado, deja
y definir una secuencia
,
como sigue:
, y
es el elemento mínimo de
tal que
. Tal elemento existe ya que por lo anterior, la intersección de
conjuntos de club es club. Luego
y
, ya que está en cada
con
.
- Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 .
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