Límite directo

En matemáticas , un límite directo es una forma de construir un objeto (normalmente grande) a partir de muchos objetos (normalmente más pequeños) que se combinan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o en general objetos de cualquier categoría . La forma en que se agrupan está especificada por un sistema de homomorfismos (homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo o, en general, morfismos en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos , donde se extiende sobre algún conjunto dirigido , se denota por . (Este es un ligero abuso de notación ${\ Displaystyle A_ {i}}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$ ya que suprime el sistema de homomorfismos que es crucial para la estructura del límite).

Los límites directos son un caso especial del concepto de colimit en la teoría de categorías . Los límites directos son límites duales a inversos, que también son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que se puede usar en cualquier categoría .

En este apartado se entiende que los objetos consisten en conjuntos subyacentes con una estructura algebraica determinada , tales como grupos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo), etc. Teniendo esto en cuenta, los homomorfismos se entienden en el ajuste correspondiente ( homomorfismos de grupo , etc.).

Sea un conjunto dirigido . Sea una familia de objetos indexados por y sea un homomorfismo para todos con las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ {A_ {i}: i \ in I \}}$ ${\ Displaystyle I \,}$ ${\ Displaystyle f_ {ij} \ colon A_ {i} \ rightarrow A_ {j}}$ ${\ Displaystyle i \ leq j}$

Entonces el par se llama sistema directo terminado . ${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$ ${\ Displaystyle I}$