Generalization of products, pullbacks, intersections, and other constructions
En matemáticas , el límite inverso (también llamado límite proyectivo ) es una construcción que generaliza varias otras construcciones que se repiten en varios campos de las matemáticas, incluidos productos , retrocesos , intersecciones y una cantidad infinita de otras construcciones relacionadas, solo algunas de las cuales tienen Se han investigado: los grupos profinitos , los números p-ádicos y los solenoides son algunos ejemplos destacados. Los límites inversos se toman de los sistemas inversos en alguna categoría dada , como la categoría Conjunto de conjuntospor ejemplo. Un sistema inverso es una colecciónde objetos (por ejemplo, conjuntos) en la categoría indexada por algún conjunto preordenadollamado conjunto de indexación , junto con una colecciónde morfismos (por ejemplo, funciones )llamados morfismos de conexión (un morfismo por cada parde índices) que satisfacen la siguiente condición de compatibilidad de sistemas inversos : cuando sea Un cono en este sistema inverso es par que consiste en un objeto llamado su vértice , y un-familia indexada de morfismos cada una de las formas (para que todos tengan el mismo dominio ) y cumpliendo la condición de compatibilidad : cuando sea Un límite inverso de este sistema inverso, si existe, es un cono que también tiene una propiedad adicional conocida como propiedad universal de los límites inversos . Esta propiedad universal establece una correspondencia biunívoca entre, por un lado, los conosen el sistema inverso dado y, por otro lado, un morfismo únicoen el objeto límite que sea "compatible" con la familia del límite de morfismos (que se denominan proyecciones del límite ) en el sentido de que satisface la condición: para cada índice (en tono rimbombante, también debe ser el único morfismo con esta propiedad).
Los límites inversos siempre existen en Set y otras categorías concretas, como la categoría Top de los espacios topológicos , así como en muchas categorías relacionadas con el álgebra, como la categoría Grp de grupos y la categoría de grupos topológicos . Pero dependiendo del sistema, es posible que no existan límites inversos en otras categorías, como la categoría Hombre de variedades y la categoría de espacios metrizables. Si existe un límite de un sistema, en general, puede que no sea único, aunque siempre será único hasta cierto isomorfismo único .
Trabajando en Set , cada elemento individual del vértice del límite se puede considerar como un " hilo ", que es cualquier-colección indexada de elementos con para cada que satisfaga simultáneamente todas las "condiciones" del sistema, lo que significa que para todos los índices Cada morfismo de conexión del sistema (uno para cada par ) puede pensarse que estipula una "condición" de que un hilo debe satisfacer; esa condición requerida esEl vértice del límite canónico de un sistema se define como el conjunto (" máximo ") de todos los subprocesos que satisfacen todos los requisitos del sistema junto con los morfismos de proyección definidos para cada índice. por Esta "maximalidad" es la razón por la que en la categoría Conjunto , el límite canónico siempre satisface la propiedad universal de los límites inversos, pero sus subconjuntos propios (si los hay) no (específicamente, la parte de "existencia" de la propiedad universal fallará). Sin embargo, simultáneamente, este límite canónico "máximo" también es "mínimo" en el sentido de que no se repite ningún hilo, por lo que ningún superconjunto adecuado del límite canónico puede satisfacer la propiedad universal de los límites inversos, sin importar cómo se realicen las proyecciones.se extienden (específicamente, la parte de "unicidad" de la propiedad universal fallará). De manera más general, las proyecciones de un límite inverso arbitrario (no canónico) puede interpretarse como "mostrar" o "establecer" cómo exactamente cualquier elemento dado del vértice satisface los requisitos del sistema a través de donde diferentes elementos de También se requiere tener diferentes imágenes debajo para que no haya repetición de ningún hilo. Si nada satisface simultáneamente todos los requisitos del sistema (potencialmente infinitos), entonces, dependiendo de la categoría, normalmente no existirá un límite o el límite será el cono vacío , que es el cono único cuyo vértice es el conjunto vacío .
Los límites inversos se pueden definir en cualquier categoría , y son un caso especial del concepto de límite en la teoría de categorías . El dual categórico de un sistema inverso, un cono y un límite inverso es, respectivamente, un sistema directo , un cocone y un límite directo (también llamado colimit o límite inductivo ). Existe una correspondencia uno a uno natural entre los sistemas directo e inverso por el cual un sistema inverso se transforma en un sistema directo, o viceversa, reemplazando el preorden.con su preorden de transposiciónUn límite directo se define como cualquier cocone desde (más que hacia ) un sistema directo que también tiene la propiedad universal doblemente definida de límites directos , que establece una correspondencia uno a uno entre los cocones del sistema directo y ciertos morfismos únicos de ( en lugar de en ) el vértice del límite directo. A pesar de la simplicidad de la correspondencia biyectiva entre sistemas directos e inversos, la naturaleza de los límites inversos suele diferir drásticamente de la de los límites directos.
Definicion formal
Sistemas inversos
Con respecto a alguna categoría dadase toma un límite inverso de una cierta colección de morfismos indexados por un conjunto preordenado llamado sistemas inversos .
Algunos autores, como Bourbaki, [1] requieren queser un conjunto parcialmente ordenado, pero no necesariamente dirigido, mientras que otros, como Dugundji, [2] requieren queser un conjunto dirigido pero no necesariamente un conjunto parcialmente ordenado. Un beneficio de no requerirestar parcialmente ordenado es que simplifica la definición de ecualizadores en términos de límites inversos. Porque la mayoría de los autores requieren para estar al menos parcialmente ordenado, la mayoría de los resultados indicados en este artículo asumen esto.
Si está dirigido (respectivamente, parcialmente ordenado, contable ) entonces se dice que el sistema está dirigido(respectivamente, parcialmente ordenado, contable ).
La relación homogénea se identifica con el conjunto para que para todos si y solo si Si luego denotará la restricción de a ; sin embargo, la notación generalmente se abusa al escribir dónde técnicamente debería escribirse en su lugar.
es una familia de objetos, lo que significa que es un objeto en la categoría para cada . Por ejemplo, sies la categoría Conjunto de conjuntos (respectivamente, categoría Top de espacios topológicos , categoría Grp de grupos , categoría TVS de espacios vectoriales topológicos , etc.) luego "objeto" significa conjunto (respectivamente, espacio topológico , grupo , espacio vectorial topológico , etc.) )
es un morfismo en la categoría para todos los índices . Por ejemplo, sies la categoría Set (resp. Top , Grp , TVS , etc.) entonces "morfismo" significa función (resp. función continua , homomorfismo de grupo , operador lineal continuo , etc.). Estos morfismosse denominan mapas / morfismos de enlace , conexión , transición o enlace del sistema o simplemente, morfismos del sistema . Algunos autores reservan el término "mapa de enlace / morfismo" solo para sistemas inversos que están indexados por números naturales .
Cuando sea se escribe entonces a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que y son índices satisfactorios .
Se dice que el sistema es monomórfico (resp. Épico / epimórfico , inyectivo , sobreyectivo , etc.) si esto es cierto para todos los morfismos de conexión.
Si luego la notación se referirá a la -indexado [nota 1] familia donde si se entiende el conjunto de indexación, entonces la notación o incluso se puede utilizar en su lugar.
Las siguientes condiciones de compatibilidad de sistemas inversos sostiene:
[nota 2] para todos los índices ;
es decir, la composicion
donde si las flechas de arriba están invertidas o invertidas (como es apropiado para sistemas inversos ), entonces esto se puede escribir como:
y casi [nota 3] siempre, los sistemas inversos también son necesarios para satisfacer la siguiente condición adicional (que este artículo siempre requerirá):
es el morfismo de la identidad en para cada
Si satisface todos los axiomas anteriores excepto este, luego, en la categoría de conjuntos, los subconjuntos de todos los puntos fijos de se puede definir para cada índice La tupla será necesariamente un sistema inverso en Set que satisfaga todos los axiomas anteriores, donde sus mapas de conexión son las restricciones y donde cada es necesariamente el morfismo de la identidad en Además, en la categoría Conjunto , el límite canónico dees necesariamente igual al límite canónico de[2] En consecuencia, en esta importante categoría, se pierde poco asumiendo que todo sistema inverso satisface este axioma.
La tupla también puede escribirse como como como Si se entiende, o incluso como o Si está entendido.
Si se comprenden los morfismos de conexión o si no hay necesidad de asignarles símbolos (por ejemplo, como en los enunciados de algunos teoremas), los morfismos de conexión a menudo se omitirán (es decir, no se escribirán); por esta razón, es común ver declaraciones como "dejemosser un sistema inverso ". [nota 4]
Sistemas proyectivos
El término " sistema proyectivo " se utiliza a veces como sinónimo de "sistema inverso", aunque algunos autores utilizan el término "sistema proyectivo" para referirse a un tipo específico de sistema inverso. En particular, algunos autores utilizan el sistema proyectivo para referirse a sistemas inversos dirigidos por los números naturales. , un sistema inverso sobreyectivo / epimórfico , y / o un sistema inverso cuyos morfismos de conexión son todos proyecciones (asumiendo que los morfismos llamados "proyecciones" se definen en la categoríaya que están en la categoría de espacios vectoriales topológicos, por ejemplo). Por ejemplo, un sistema proyectivo en la categoría de variedades suaves (cuyos morfismos son mapas suaves ) a menudo se define como un sistema inverso en la categoría de variedades suaves que está indexado por los números naturales. y todos cuyos mapas unión son suprayectivos lisas inmersiones . Independientemente de cómo se defina el "sistema proyectivo", un límite proyectivo significa un límite inverso de un sistema proyectivo.
Ejemplos de sistemas inversos
Dado cualquier objeto en cualquier categoría y dado un conjunto preordenado el sistema constante o trivial sobre (que es constantemente ) es el sistema
donde están todos los objetos y cada morfismo de conexión es el morfismo de identidad en que se denota por Es decir, dónde para cada índice y para todos los índices el morfismo de conexión es el morfismo de la identidad
Si es una secuencia de objeto y si es una secuencia de morfismos, cada uno de los cuales tiene un prototipo entonces estos objetos y morfismo se asocian automáticamente con el siguiente sistema inducido o canónico donde para todos satisfactorio el morfismo es definido por
tiempo se define como el morfismo de identidad
Por ejemplo, donde el lado derecho es la siguiente composición de morfismos:
Este sistema canónico (cuyo preorden es la comparación de enteros habitual ) es necesariamente un sistema inverso. Aunque los números naturales se utilizaron, el conjunto de indexación puede, por ejemplo, ser alternativamente algún otro subconjunto de los números enteros
Si es un sistema inverso (o un sistema directo ) y sies cualquier subconjunto, entonces la restricción de este sistema a es el sistema
donde cualquier sistema de este tipo se conoce como subsistema de. Sies un subconjunto cofinal de luego se llama un subsistema cofinal de
Olvidando estructuras : Supongamoses un sistema inverso en una categoría concreta (como Top o Grp ) cuyo fiel functor olvidadizo asociado (covariante) es Esto significa que los objetos en son "conjuntos con estructura adicional" y "olvida" esta estructura adicional (por ejemplo, si es Top entonces y para cada mapa continuo ). Aplicando a todos los objetos y el morfismo en este sistema produce conjuntos y funciones que inducen el sistema inverso
Siempre que un sistema en se considera / se denomina "system in Set ", en realidad es este sistema el que se está considerando. Aunque el objetivo del functorfue Set , esta misma construcción se puede hacer con cualquier functor olvidadizo . Por ejemplo, sies la categoría de grupos topológicos, entonces el objetivo deen su lugar, podría ser Grp (si se olvida la topología) o Top (si se olvida la estructura del grupo); " sistema en Grp "(resp." system in Top ") se refiere al sistema inducido que resulta cuando se olvidan todas las estructuras distintas de la estructura del grupo (resp. distintas de la topología).
Aplicar un funtor : de manera más general, suponga es un sistema en una categoría y es un functor. Aplicandoa todos los objetos y morfismo en este sistema da como resultado el siguiente sistema en Inducido por
Si es un sistema inverso (resp. directo) entonces también lo es Cuándo es un funtor covariante y de lo contrario, sies functor contravariante entoncesen su lugar, será un sistema directo (resp. inverso). Por ejemplo, si y son tanto la categoría de espacios vectoriales topológicos (TVS) como si envía un televisor a su continuo espacio dual mientras envía un mapa lineal continuo a su transposición (definido por ) entonces el resultado de aplicar a cualquier sistema inverso será un sistema directo.
Relación con sistemas directos
Determinar si una tupla forma un sistema y una notación directos o inversos
Para el sistema inverso y para cualquier índice este artículo denota el morfismo de conexión por Sin embargo, algunos autores pueden, en cambio, denotar este mismo morfismo por (con las posiciones de y intercambiado) mientras que otros pueden denotarlo por o Si bien la notación utilizada para denotar los morfismos de un sistema inverso puede variar, lo que no varía es que en un sistema inverso, el índice del codominio es siempre menor que (es decir, menor o igual que) el índice del dominio (mientras que para el sistemas , es todo lo contrario). Centrarse en este invariante de los morfismos de conexión en lugar de la convención / notación de índice específica utilizada por un autor en particular puede ayudar cuando se pasa de leer el trabajo de un autor a otro.
Correspondencia uno a uno entre sistemas directos e inversos
Dado un conjunto preordenado su inverso o transposición es el conjunto preordenado donde por definición,
que también se denota por [nota 5] Explícitamente, para todos declarar que se sostiene si y solo si sostiene. Una tupla
es un sistema inverso si y solo si es transpuesta u opuesta , cual es la tupla
es un sistema directo (que no debe confundirse con un sistema de educación directa ). Esta caracterización puede usarse para definir sistemas directos en términos de sistemas inversos, o para definir sistemas inversos en términos de sistemas directos.
Para ilustrar cómo los sistemas inversos se diferencian de los sistemas directos, la razón por la cual es un sistema directo siempre que es un sistema inverso se explica ahora en detalle. Una de las características más destacadas que distinguen un sistema directo de un sistema inverso es que en un sistema inverso como Si entonces los morfismos son de la forma donde el índice del codominio del morfismo de conexión es menor (es decir, menor o igual a) con respecto a que el índice de su dominio mientras que en un sistema directo, el codominio de un morfismo tendría, en cambio, un índice mayor , lo cual es cierto para con respecto a (porque implica que dice exactamente eso Es mas grande que con respecto a ); sin embargo, esta última condición es, en general, no verdadera de con respecto a razón por la cual, en general, los sistemas inversos como no son también sistemas directos. Del mismo modo, por su propia definición, las condiciones de compatibilidad de los sistemas directos está satisfecho por si y solo si se mantiene para todos los índices que satisfacen (o equivalente ), que también se puede expresar indicando que la composición:
donde, como antes, el índice del codominio es mayor (con respecto a ) que el índice del dominio. Pero estas condiciones de compatibilidad de los sistemas directos aplicados a la tupla (es decir, la igualdad por ) es exactamente igual que las condiciones de compatibilidad de los sistemas inversos aplicados a la tupla (es decir, la igualdad por ).
Conos
Si es una colección de morfismos y es un objeto, entonces la notación
indicará que para cada índice el morfismo tiene prototipo Por el contrario, los límites directos se refieren a colecciones de morfismos de la forma
Una colección de morfismos de un objeto en se dice que es compatible o consistente [3] con el sistema si para todos los índices en la siguiente Se cumple la condición de compatibilidad de los conos :
lo que sucede si y solo si el siguiente diagrama "en forma de cono " conmuta:
Si este es el caso, entonces el par se llama cono de dentro el objeto se llama el vértice del cono y cada se llama el (th ) morfismo o proyección del cono(en).
El cono y los conos vacíos en la categoría de conjuntos.
En la categoría Conjunto , elcono vacío es el parque tiene el juego vacío como su vértice y todos cuyos morfismos son el mapa vacío , que también se denota porEl cono vacío es un cono en cada sistema inverso en la categoría Conjunto y para ciertos sistemas inversos, el cono vacío podría ser incluso el único cono que entra en él. Esto es cierto, por ejemplo, si algunoes el conjunto vacío. Sies un sistema inverso en Set, entonces los conos en él se pueden caracterizar en términos de fibras (que son imágenes inversas de conjuntos singleton) de la siguiente manera: si hay mapas entonces es un cono en si y solo si para todos los índices el mapa es constante en cada fibra de y por cada si la fibra no está vacío entonces su valor debe ser
Los conos de las categorías concretas están estrechamente relacionados con los conos de la categoría Conjunto . Específicamente, si es una colección de funciones, cada una de las cuales tiene la forma luego es un cono en en la categoría Top (resp. Grp , Man k {\ Displaystyle k}
, etc.) si y solo si es un cono en en la categoría Set y cadaes continuo (resp. un homomorfismo de grupo ,-veces continuamente diferenciable , etc.).
Restringir y extender conos
Suponer que es un sistema inverso y es un subconjunto no vacío. Si es un cono en luego se llama este cono restricción a(o para) y se garantiza que será un cono en el subsistema Del mismo modo, cualquier cono en que se restringe a algún cono dado se llama un extensión a(o para).
Extendiendo un cono
Suponer es un cono en el subsistema y una extensión a es deseado. Si tal extensión existe entonces para cualquier índice el ("nuevo") morfismo está completamente determinado por cualquier morfismo ("dado inicialmente") cuyo índice satisface (asumiendo que tal incluso existe) debido a la condición de compatibilidad que conos en se requieren para satisfacer. En consecuencia, sies un subconjunto cofinal de lo que significa que para cualquier índice existe algo satisfactorio luego una extensión de este cono en si existe, es único y está completamente determinado por la condición de compatibilidad de los conos .
Si es un conjunto dirigido y es un subconjunto cofinal de luego el cono dado siempre se puede extender a un cono único dentro donde para cada el morfismo es:
para cualquiera / cada que satisface donde si además luego puede tomarse como la definición de (esta nota a pie de página [prueba 1] muestra el papel que desempeña la dirección de juega en garantizar que está bien definido, que el siguiente ejemplo muestra que podría no ser cierto de lo contrario).
Un cono en un subsistema cofinal sin extensión
Si no es un conjunto dirigido, entonces no se garantiza que exista una extensión de un cono de un subsistema cofinal , como demuestra el siguiente ejemplo. Dejar ser objetos distintos, dejemos
y ordenar parcialmente declarando que si y solo si o Dejar ser el morfismo de identidad para cada y deja y sean las proyecciones naturales; es decir,
y
Esto define un sistema inverso . Dejar que es un subconjunto cofinal de dejar ser un conjunto singleton y definir y por
y
Luego es un cono en el subsistema pero no existe ninguna tal que es un cono en porque las condiciones de compatibilidad requerirían simultáneamente y
Un cono en un subsistema no cofinal sin una extensión
Suponer es un conjunto no vacío, y se define en declarando si y solo si Dejar que es el sistema inverso utilizado para definir productos . Dejar ser cualquier función de cualquier conjunto no vacío y deja que no es un subconjunto cofinal de Luego es un cono en el subsistema pero no puede existir una extensión de un cono que se adentre en porque esto requeriría la existencia de un mapa cuyo dominio es un conjunto no vacío. Esto muestra que aunque cada cono en(de los cuales hay exactamente uno: el cono vacío ) siempre restringe un cono en no todos los conos de este subsistema surgen de esta forma.
Límite inverso de un sistema inverso
Un límite inverso se puede definir de forma abstracta en una categoría arbitraria como un cono que posee una determinada propiedad universal . A lo largo, dejaSer un sistema inverso de objetos y morfismos en una categoría. (misma definición que la anterior).
Un límite inverso o un límite [3] [4] del sistema inverso es un cono dentro (entonces cada morfismo que se llama la proyección del límite desdea [nota 6], debe tener prototipo y esta familia también debe satisfacer cuando sea lo que significa que este diagrama:
debe viajar) para lo cual se cumple la siguiente condición:
Propiedad universal de los límites ( inversos ) : Si es cualquier cono en este sistema (por lo que, por supuesto, estos morfismos satisfacen ) entonces existe un morfismo único tal que para cada índice (esto puede abreviarse como ); es decir, el siguiente diagrama debe conmutar para cada índice :
Este morfismo único se llama el límite ( inverso ) del conodentro y también se puede denotar por , , o .
Si este es el caso, entonces para todos los índices , los diagramas anteriores se pueden combinar para producir el siguiente diagrama conmutativo :
Dicho de forma más sucinta y sin índices, un límite inverso de un sistema inverso es un cono dentro tal que para cualquier cono en este sistema, existe un morfismo único que satisface Esto se puede expresar escribiendo
donde si los morfismos de conexión del sistema y el conjunto de indexación se entienden entonces esto se puede escribir más simplemente como o Sin embargo, a pesar del signo igual siendo utilizado, los límites son, en general, no única a pesar de que son únicos hasta el isomorfismo. En la categoría Conjunto , es suficiente (y necesario) verificar la propiedad universal para todos los conos cuyo vértice es un conjunto singleton (donde tal cono en existe si y solo si el límite de no es el cono vacío ; si el límite está vacío, entonces el único cono enes el cono vacío). En la categoría de grupos , esto es cierto si el objeto es en cambio
Un sistema inverso en una categoría admite una descripción alternativa en términos de functores . Específicamente, cualquier conjunto parcialmente ordenadopuede considerarse como una categoría pequeña donde los morfismos consisten en flechas si y solo si Entonces, un sistema inverso es solo un funtor contravariante y el functor de límite inverso es un funtor covariante .
Correspondencia entre conos y morfismos en un límite
Suponer es un límite de en alguna categoría. Si hay algún morfismo y si luego es un cono en cuyo límite en es el morfismo original ; en simbolos, por cada morfismo En particular, esto muestra que todo morfismo en (el vértice de) un límite surge como el límite de algún cono. Cada cono límite [nota 7] establece así una correspondencia biunívoca entre morfismos en y conos en
El límite de un cono dentro es el morfismo de la identidad si y solo si y (es decir, para cada índice ). En particular, el límite del cono en sí mismo (es decir, en ) es el morfismo de la identidad ; en simbolos,
Unicidad e isomorfismos de límites
En algunas categorías, hay ciertos sistemas inversos para los que no existe un límite inverso. Sin embargo, si existe un límite inverso, entonces es único hasta el isomorfismo en un sentido fuerte: dos límites cualesquiera de un sistema inverso se diferencian entre sí por como mucho un isomorfismo único que conmuta con los morfismos de proyección, como se describe ahora en detalle. .
Asume a lo largo de eso es un límite de Si es un isomorfismo de algún objeto y si luego el cono es también un límite inverso de en esta categoría y además, como se mencionó anteriormente, el límite del cono dentro es Por el contrario, asumiendo ahora que es cualquier límite de entonces el limite del cono dentro que se denota por es necesariamente un isomorfismo que satisface (es decir, para cada índice ) y consecuentemente, . Además, si denota el límite del cono dentro luego, además de satisfacer este morfismo también satisface y Esto también muestra que un cono dado arbitrario dentro es (también) un límite inverso de este sistema si y solo si existe un isomorfismo tal que (o dicho de otra manera, tal que es igual al límite original); además, este isomorfismo será necesariamente único.
Subsistemas cofinales de sistemas dirigidos
Suponer que es un sistema inverso dirigido y que es un subconjunto cofinal del conjunto dirigido Si es un límite de entonces la restricción de este cono a es un límite del subsistema Por el contrario, si es un límite del subsistema entonces la extensión única de este cono para será un límite del sistema original Específicamente, para cada el morfismo fue definido por dónde es cualquier índice satisfactorio ; Sin embargo, sino es un conjunto dirigido, entonces puede que ni siquiera exista un cono en que se extiende Usando el método que se acaba de describir, es posible pasar entre un límite de un sistema dirigido y un límite de un subsistema cofinal al no hacer nada más que eliminar o agregar proyecciones (definidas de manera única)desde / hasta el cono límite; en particular, no es necesario cambiar el vértice del cono.
Límites y sistemas totalmente ordenados
Ahora se demuestra cómo el vértice de un límite de un sistema inverso parcialmente ordenado en una categoría es también el vértice de un límite de un sistema inverso totalmente ordenado ensi los límites de los subsistemas que se definen a continuación, todos existen (lo que sucede, en particular, si los límites inversos siempre existen en ). Ordenar parcialmente por inclusión de conjuntos el conjunto de todos los ideales no vacíos en que por definición son subconjuntos no vacíos con la propiedad que siempre satisface para algunos entonces necesariamente Dejar ser un subconjunto totalmente ordenado de tal que (en particular, la posibilidad está permitido aunque alternativamente (y ms til) consistir enteramente en ideales adecuados) y para todos asumir que es un límite en de El -indexed subsistema Para todos con Cada uno de y es un cono en así que denote los límites respectivos de estos conos en por y Luego es un sistema inverso totalmente ordenado y tiene como un límite inverso en Tenga en cuenta en particular que el vértice de este nuevo cono límite es el mismo que el del límite original
Por ejemplo de esta construcción en Set , suponga que se ordena parcialmente declarando si y solo si y deja y ser el mapa de identidad de cada índice Entonces el vértice de un límite del sistema inverso es el espacio de las secuencias reales Dejar constan de todos los subconjuntos de la forma (como se extiende sobre ) así que eso es el orden isomorfo al orden total habitual Luego es también el límite del sistema inverso totalmente ordenado donde cada es la proyección canónica (como se describe en un ejemplo a continuación).
Un límite es un producto de los límites de los subsistemas.
A lo largo de, es cualquier categoría, es cualquier sistema inverso en y "producto" y "límite" se referirán respectivamente a productos categóricos y límites inversos en
Dos índices se dice que son comparables (con respecto a) si al menos uno de y es verdad. La relación inducida "es comparable a" enes simétrico y reflexivo pero no necesariamente transitivo . Dejarser cualquier partición de con la propiedad:
para cada cuando sea son comparables entonces si y solo si
( Propiedad 1 )
(esta nota al pie [nota 8] define una partición única de con (Propiedad 1) que se puede utilizar para caracterizar todas las particiones deque tienen esta propiedad). Para cada asumir que
es un límite del subsistema Entonces un límite de existe si y solo si un producto (categórico) de los objetos existe. Además, cada límite de induce un producto de y viceversa, cada producto de induce un límite de ; los detalles de estos resultados se dan a continuación.
Si que es necesariamente el caso si es un conjunto dirigido, entonces este resultado probablemente no será útil porque, por supuesto, para el límite del subsistema ya se conoce y cualquier objeto individual es siempre un producto categórico de sí mismo. Pero si entonces estos resultados permiten el problema de identificar (o construir) un límite de reducirse a resolver el mismo problema para la colección (indexado por ) de subproblemas potencialmente más simples que involucran a los subsistemas
Para describir los detalles prometidos, para cada dejar denotar el conjunto único en la partición que tiene como elemento; en otras palabras,
Si luego para cada
Entre otras consecuencias importantes, tener (Propiedad 1) garantiza que si es cualquier objeto y es cualquier colección de morfismos, cada uno de la forma luego es un cono en si y solo si para cada es un cono en el subsistema Con un conocimiento práctico básico de las definiciones de límites, productos y sus propiedades universales, las pruebas de todos los resultados mencionados en esta subsección se convierten en ejercicios sencillos; por ejemplo, las únicas propiedades definitorias de los límitesque se necesitan se describen en esta [nota 9] nota a pie de página.
Límite inducido por un producto
Asumir que es un producto (categórico) de los objetos Para cada índice dejar ser el morfismo definido por
Luego es un límite de en dónde Además, suponga hay algún cono en y por cada dejar ser el limite del cono dentro ; entonces el producto ⟨ h ∙ ⟩ {\ Displaystyle \ left \ langle h ^ {\ bullet} \ right \ rangle} en de los morfismos es necesariamente igual al límite del cono dentro
Producto inducido por un límite
Ahora asuma en cambio que es un límite de Para cada dejar denotar el límite del cono dentro que es el morfismo único que satisface
para cada índice Luego es un producto (categórico) de Además, si es cualquier objeto y es cualquier colección de morfismos, cada uno de la forma entonces el producto ⟨ h ∙ ⟩ {\ Displaystyle \ left \ langle h ^ {\ bullet} \ right \ rangle} de estos morfismos en es igual al límite del cono dentro
Una condición suficiente para la existencia de límites de subsistemas.
Dejar sea como antes, pero reemplace la suposición de que cada subsistema tiene un límite con el nuevo supuesto de que para cada cada cono en tiene una extensión a un cono en Dejar ser objetos, deja ser un producto de y por cada dejar ser un morfismo y dejar ser definido por
Asumir que es un límite de dónde Entonces para cada es un límite de dónde Además, suponga es un cono en Si es el límite de dentro entonces el producto ⟨ ( π A ∘ h ∞ ) A ∈ A ⟩ {\ Displaystyle \ left \ langle \ left (\ pi ^ {A} \ circ h _ {\ infty} \ right) _ {A \ in {\ mathcal {A}}} \ right \ rangle} en es igual a y por cada el límite del cono dentro es igual a Si por cada es el límite de dentro ; entonces el limite de dentro es igual al producto en
Interpretaciones de límites
Por cada vez dejar denotar algún espacio de estado en el tiempo donde para facilitar la discusión, se supondrá que el tiempo se mide en segundos. Si es algún estado a la vez entonces deja denotar su estado subsiguiente en el momento para que esta asignación defina una función El elemento se llama sucesor [5] de en el momento tiempo se llama un predecesor de en el momento Asume que cuando luego es el mapa de identidad, que se puede interpretar como: no hay cambio de estado si no hay cambio de tiempo. Tiempos dados asume también que ; esto se puede interpretar como: el estado que resulta después de esperar segundos es el mismo estado que resulta de esperar segundos seguidos inmediatamente de esperar otro segundos. En otras palabras, esto supone que el estado futuro dedepende solo del estado actual y no en alguna combinación del estado actual y otro (s) estado (s) de tiempos
Respecto al orden natural en el índice del codominio de es -mayor que (o igual a) el índice del dominio, por lo que la tupla
podría esperarse que forme un sistema directo (y no un sistema inverso), [nota 10], y de hecho las dos suposiciones hechas anteriormente garantizan esto (porque esas suposiciones son precisamente las condiciones de compatibilidad del sistema directo requeridas ). Del mismo modo, inspeccionando el orden de los índices del dominio y codominio de con respecto a la transposición del sistema anterior , que es la tupla
podría esperarse que forme un sistema inverso (y no un sistema directo), y de hecho las suposiciones hechas arriba son precisamente las que garantizan esto (porque son precisamente las condiciones de compatibilidad del sistema inverso ).
Ahora elige un momento arbitrario interpretar como "ahora" o "el tiempo actual", donde para concretar se supondrá que Porque es un conjunto dirigido yes un subconjunto cofinal deel límite directo del sistema directo es, hasta un isomorfismo único, lo mismo que el límite directo del subsistema que resulta de restringir el conjunto de indexación de de a Del mismo modo, porque es un conjunto dirigido y es un subconjunto cofinal de el límite inverso de es, hasta un isomorfismo único, lo mismo que el límite inverso del subsistema En palabras, esto significa que:
el límite inverso de este sistema depende sólo del pasado (es decir, sólo de los tiempos ) mientras que el límite directo de este sistema depende solo del futuro (es decir, solo de los tiempos ).
Suponga de ahora en adelante que la categoría bajo consideración es Conjunto (por lo que todos los objetos son conjuntos y todos los morfismos son funciones).
Límites inversos
Asumir que (aunque también se puede utilizar). El vértice del límite inverso canónico (definido a continuación) del subsistema es el set
que se puede interpretar como todo el conjunto de todos los posibles - " hilos " indexados [6] o - porque este sistema en particular está indexado por tiempo - " líneas de tiempo ( infinitas ) " que "se remontan eternamente". Examinar la definición del límite canónico hace que esta interpretación sea más clara donde también puede ayudar a utilizar como el conjunto de indexación en lugar de los continuos o ; hacer esto también es técnicamente correcto. [nota 11] Esta interpretación se extiende a un límite arbitrario (posiblemente no canónico) donde algún hilo / línea de tiempo dado se dice que " atraviesa " algún estado dado en el momento si y solo si Ahora se aclara el significado y la importancia de las palabras "infinito" y "eternamente". Si es algún estado a la vez y si existe algun tiempo tal que entonces las condiciones de compatibilidad hacen imposible que exista un "hilo / línea de tiempo infinito" pasando por el estado ; esto es cierto incluso si existe algún tiempo Entre y (es decir ) tal que porque esto solo significa que hay una "línea de tiempo finita" que pasa por que no hace un hilo. Es importante destacar que sabiendo solo que por cada real no es suficiente para garantizar la existencia de un hilo que pasa a través (es decir, satisfactorio ); [nota 12] ; Se necesita información adicional o suposiciones para garantizar esto.
Límites directos
Por el contrario, para el límite directo , suponiendo que los conjuntosson disjuntos por pares , [nota 13] define una relación de equivalencia canónica (como se describe en el artículo sobre límites directos ) declarando y ser equivalente si y solo si y tener el mismo sucesor en algún momento futuro Para cualquier momento la clase de equivalencia que contiene el elemento será denotado por y
denotará el vértice del límite directo canónico de cuyo asociado -familia indexada de morfismos son los mapas definido por Por definición del límite directo canónico, dado algún estado los estados en el set que consiste en el estado actual y todos sus futuros estados sucesores se identifican juntos como una sola entidad bajo esta relación de equivalencia canónica; así el elemento del límite directo puede pensarse como " y todos sus sucesores considerados como una sola entidad a lo largo del tiempo ". Sin embargo, en general, solo está garantizada y esta contención puede ser la adecuada , aunque existen condiciones que garantizan la igualdad. [nota 14] Esta inclusión de subconjunto es adecuada si y solo si existe algunas veces y algún estado tal que pero En otras palabras, si y solo si hay algún tiempo tal que tiene dos o más predecesores distintos, en cuyo caso estos predecesores también se identifican con esta "entidad única existente a lo largo del tiempo"; aunque esta discusión ha enfatizado la definición de en general, no da ninguna razón para preferir a un predecesor de sobre cualquier otro. Véase también esta nota a pie de página [nota 15] para conocer las interpretaciones alternativas relacionadas que son más accesibles.
Independientemente de si la contención de conjuntos antes mencionada es adecuada o no, cada estado está asociado con exactamente un elemento en el límite directo de este sistema (donde ). En límite inverso de este sistema, sin embargo, se podría no existir cualquier solo hilo que pasa a través(aunque esta es una posibilidad [nota 16] ). De hecho, dependiendo de los morfismos de conexiónpuede que no exista ningún hilo pasando por podría existir sólo un número finito, o incluso podría existir un número infinito.
Existencia de límites
Que los límites siempre existen en la categoría de conjuntos se demuestra con la definición del límite canónico a continuación. Diferentes conos de límite pueden tener diferentes ventajas y desventajas, por lo que aunque el límite canónico siempre se puede usar, en su lugar se usan con frecuencia otros límites no canónicos porque, por ejemplo, podría ser mucho más fácil trabajar con ellos (se dan ejemplos a continuación). Además, pueden usarse simultáneamente diferentes conos de límite para aprovechar sus ventajas individuales, aunque esto a menudo requiere el conocimiento de los isomorfismos únicos descritos anteriormente.
La existencia de límites en la categoría Conjunto se puede utilizar para ayudar a probar la existencia de límites en otras categorías concretas.
Existencia e igualdad de elementos en un límite
Suponer es un límite de en la categoría Set . Si se da luego si y solo si para cada índice ; [prueba 2] esta caracterización sigue siendo cierta si el índiceen cambio, varía sobre algún subconjunto cofinal de (incluso si no es un conjunto dirigido ).
Si son elementos tales que para todos los índices y entonces existe un único tal que para cada La existencia de este elemento se puede probar construyendo el siguiente cono y luego tomando su límite; la caracterización antes mencionada deEs entonces solo la especialización de la propiedad universal de los límites a este cono particular. Dejar ser un conjunto de singleton y para cada definir por Esto resulta en un cono cuyo límite dentro es el mapa único que satisface para cada Dejando prueba la existencia del elemento deseado porque satisface para cada índice
En general, si solo es una tupla indexado por algún subconjunto cofinal adecuado de se da, entonces un elemento satisfactorio para cada podría no existir [nota 17] (aunque si existe, será único). Esto podría suceder porque la construcción del cono enque se describió anteriormente podría no ser posible si soloes conocida. Sies un conjunto dirigido, entonces siempre es posible construir encima del cono, por lo que la existencia de un elemento único satisfactorio para cada está garantizado en esta situación.
El límite canónico
El límite canónico ( inverso ) del sistema inverso en la categoría Conjunto es el cono dentro que consta del siguiente subconjunto del producto cartesiano de la's:
cuyos elementos se llaman hilos , [6] junto con las proyecciones asociadas que se definen como las restricciones a de las proyecciones naturales del producto cartesiano . Explícitamente, para cada índice el mapa
es la restricción a de la proyección natural
que elige el componente del producto cartesiano; es decir El límite canónico, que es el cono dentro que consiste en y los mapas satisface la propiedad universal de los límites descritos anteriormente y, por lo tanto, es un límite inverso deen la categoría Set . Esta definición del límite canónico prueba así que los límites inversos siempre existen en Set . Sin embargo, es importante destacar que es posible que el límite canónico para ser el conjunto vacío incluso si todo no están vacíos (el límite es el conjunto vacío no significa que el límite no existe en el conjunto ). Y además, es posible una proyeccióna no ser sobreyectiva (es decir, a no ser una epimorfismo en Set ); esto es posible incluso si no está vacío.
Límites de conos en el límite canónico
Suponer es el límite canónico de y es un cono en El limite de en el límite canónico está el mapa definido por
Para cualquier subconjunto
donde si además es un sistema dirigido en Top ,es Hausdorff , yes compacto entonces
El límite inverso de cualquier sistema inverso de conjuntos finitos no vacíos es no vacío. Esta es una generalización del lema de Kőnig en la teoría de grafos y puede demostrarse con el teorema de Tychonoff , considerando los conjuntos finitos como espacios discretos compactos y luego aplicando la caracterización de la propiedad de intersección finita de compacidad.
Límites en categorías concretas y su relación con los límites en el conjunto
Para la mayoría de las categorías concretas más comúnmente estudiadas cuyos objetos consisten en conjuntos con estructura adicional y cuyos morfismos son ciertos tipos de funciones (como las categorías de espacios topológicos , grupos , variedades , etc.), las pruebas de la existencia de límites en estas categorías a menudo implica la consideración del límite del sistema en la categoría Establecer como un paso importante. A menudo, un límite en dicha categoría se forma agregando la estructura adicional apropiada al límite de este sistema en Set . Por ejemplo, para formar un límite de un sistema en Top , el vértice del límite del sistema in Set está dotado de la topología débil inducida por; de hecho, todos los límites de Top se pueden construir de esta manera. Los límites en la categoría Conjunto son, por lo tanto, muy importantes para hacer frente a los límites en muchas otras categorías.
En muchas categorías que involucran espacios topológicos, como categorías de variedades o grupos topológicos , si existe un límite de un sistema en esta categoría, entonces el espacio topológico subyacente del límite será generalmente un límite del sistema en Top . Por ejemplo, si un límite de un sistema de variedades existe en alguna categoría de variedades (de dimensión finita) (digamos, por ejemplo, la categoría de variedades suaves ), entonces la variedad límiteEl espacio topológico subyacente es necesariamente el límite de en la parte superior . En consecuencia, aunque los límites siempre existen en categorías como Set , Top y Grp , a veces pueden dejar de existir en otras categorías, como la mayoría de categorías de variedades, por ejemplo. Para las categorías de variedades en particular, cuando un límite de un sistema de variedades no existe, a menudo se debe a que el límite del sistema en Top no es localmente euclidiano . Por ejemplo, un producto infinito de variedades de dimensión positiva (un tipo de límite) nunca es una variedad porque su límite en Top , que es el espacio producto de las variedades topológicas subyacentes , nunca es localmente euclidiano.
Si es un cono en en alguna categoría de hormigón común (como Top , Grp , etc.) y si es un límite de en esta categoría entonces el morfismo límite del cono dentro tomado en la categoría es igual al mapa de límites de dentro tomado en la categoría Set , lo que implica que este mapa límite en Set será necesariamente un morfismo en
Existencia de límites en Top
En la parte superior , se convierte en un límite en esta categoría cuando está dotado de la topología inicial , también conocida como topología débil o topología límite , inducida sobre ella por las proyeccionesEn consecuencia, siempre existen límites inversos en la categoría de espacios topológicos. [7] Siestá dotado de la topología del producto, entonces esta topología enes igual a la topología subespacial inducida en por Si cada es un espacio de Hausdorff, entonces también lo es y además, será necesariamente un subconjunto cerrado de En consecuencia, si cada es un espacio compacto de Hausdorff, entonces esto también será cierto para y así también de su subespacio cerrado
Si cada está dotado de una uniformidad y si cada es uniformemente continuo entonces se convierte en un límite de en la categoría de espacios uniformes (donde los morfismos son mapas uniformemente continuos ) si está dotado de la relativa uniformidad inducida en por la uniformidad del producto en
Existencia de límites en el Grp y otras categorías relacionadas con el álgebra
En Grp , es necesariamente un subgrupo del grupo de productos y las proyecciones serán necesariamente homomorfismos de grupo . Estas observaciones, junto con el hecho de quees un límite en Set , implica fácilmente que los límites inversos siempre existen en la categoría de grupos . [7] El subconjunto no está vacío porque todo homomorfismo envía el elemento de identidad al elemento de identidad para que contiene el elemento de identidad de
De manera más general, si is any limit of in Grp and if then is the identity element if and only if is the identity element of for every index ; moreover, because there exists some element in which will be denoted by such that If is a cone (of homomorphisms) into then this cone's limit in the category Grp is the same as its limit in the category Set and moreover, this limit map will necessarily be a homomorphism.
This same construction of canonical limits may be carried out in the categories of semigroups,[7] rings, modules (over a fixed ring), algebras (over a fixed ring), etc., where the morphisms are homomorphisms of the corresponding algebraic structure. The construction of these canonical limits thus proves that inverse limit always exist in these categories. For example, an inverse system of rings and ring homomorphisms will be a ring together with ring homomorphisms.
Algebraic structure on non-canonical limits and limits in other algebra related concrete categories
Suppose is a system in Grp (so all are homomorphisms of groups) and that is any limit of in Set. It is now shown in detail how to endow the set with a unique group operation that will make into a limit of in Grp. Because is not yet endowed with a group structure, limits of cones in Set will be used to define it. Cones into are also needed to prove the existence of the identity element, inverses, and sums of elements; once existence is established then characterizations of these element that do not (explicitly) involve cones are typically used thereafter. Although a group operation is defined below, the constructions and proofs readily generalize to allow for the construction of almost any other algebraic structure on including that of a ring, field, vector space, and others. And even if is assumed to come endowed with the (unique) algebraic structure making into a limit of in such a category, the definitions and results below can instead be used as characterizations of the identity element, inverse, and sum of elements in It will be assumed is the identity element of and that all groups are written additively.
Addition/Sum: Given because whenever there exists some unique element in which will be denoted by satisfying for every index
Addition is associative because for any and any index
where because was arbitrary, this implies that A similar proof shows that is commutative if this is true of every
This structure makes every map into a group homomorphism because holds for all
This is the only possible group structure on that results in becoming a limit of in Grp. Moreover, if is a limit of in Grp then is also a limit of this system in Set; the operator produced by the above construction will necessarily be the group operation that was originally endowed with.
Identity element : Because whenever there exists some unique element in which will be denoted by satisfying for every index It is the identity element of the group because for every index
where being arbitrary implies that The equality is proved similarly.
Inverse of an element: Given because whenever there exists some unique element in which will be denoted by satisfying for every index The element is the (additive) inverse of under the group operation defined above because for every index
which shows that satisfies the above characterization of the identity element Thus
Properties of limits in Set and Top
Throughout, will be a limit of a partially ordered inverse system in the category Set or, whenever a statement requires a topology, in the category Top. A cone in Top is just a cone in Set, all of whose maps are continuous functions. In Top, the limit of a cone into is the same as its limit in Set, that being the necessarily continuous map
Topology
Assume that is an inverse system in Top and that is a limit in Top. Then the topology on is equal to the weak topology or the limit topology, induced on it by the projections which by definition is the weakest topology on making every continuous. A subbase for this topology consists of all subsets of the form as ranges over the open subsets of and ranges over ; if is a directed set then these subbasic open subsets actually form a basis for the limit topology (rather than merely just a subbasis). The vertex will be Hausdorff (resp. T1, regular, completely regular, compact Hausdorff) if this is true of every If is directed and contains a countable cofinal subset then will be a first-countable space (resp. a second-countable space) if this is true of for every
If the system is directed then a subset is a dense subset (resp. a nowhere dense subset) of if and only if is dense (resp. is dense) in for every index
Uniformities and metrics
The system is said to be a uniform system if every is endowed with a uniformity that is consistent with 's given topology (that is, the topology that induces on is equal to 's given topology) and if every is uniformly continuous. A uniform system is nothing more than an inverse system in the category of uniform spaces, where morphisms are uniformly continuous maps. In this case, becomes an inverse limit of in the category of uniform spaces if is endowed with the weakest uniformity making every uniformly continuous. The topology induced on by the uniformity is equal to the weak topology on induced by the
Assume now that every is metrizable with as a metric and if the indexing set is then is also metrizable and a metric compatible with its topology is given by the Fréchet combination
for all Every map is uniformly continuous.
Surjective and injective limits
If is directed then the maps are surjective (resp. injective) for all if and only if this is true of the restrictions for all in In the category Top, assume that is directed and for all let Then for all in the restriction and the map are surjective and moreover, is a limit of the surjective inverse system where is the canonical limit of this system if and only if it is the canonical limit of the original system
Non-empty limits
Countable directed surjective systems
If is an inverse system in Set directed by (or more generally, directed by any indexing set containing a copy of as a cofinal subset) such that every bonding map is a surjection between non-empty sets, then the limit is not the empty cone. The conclusion may fail without the assumption that every bonding map is surjective.
Limit of finite dimensional affine spaces
Assume is an inverse system in the category of real affine linear spaces such that every is an finite-dimensional real vector space and every is an affine linear map. Let be a limit and for every index let Then whenever and is a limit of the inverse system Because every is non-empty, so is
Compact Hausdorff systems
If every is a compact Hausdorff space then so is Henceforth assume that is a directed system and that every is a non-empty compact Hausdorff space. Then is non-empty[proof 3] and if in addition every is a connected space then so is Moreover, if then
and if is some open subset of such that then there exists some satisfying such that And if for every then whenever in
The main result above uses topological assumptions to reach the purely set-theoretic conclusion So for example, suppose that for every and is the inclusion map. Because the limit of this system in Set is the empty cone, the same is true of its limit in Top (whenever the are endowed with topologies making the maps continuous), which implies that it is not possible to endow the sets with compact Hausdorff topologies making every bonding map continuous. As the trivial topology on every is compact but not Hausdorff, this example shows that the conclusion is not guaranteed if the spaces are compact but not Hausdorff.
Mittag-Leffler Lemma
The first Mittag-Leffer lemma is likely the following theorem of R. Arens.[8]
Mittag-Leffler Lemma: [9] If every is non-empty complete metric spaces and if is a dense subset of for every index then is a completely metrizable space and is a dense subset of for every index (Importantly, this implies that is not empty.)
More generally, for every index assume that is a subset of a complete metric space that the map is non-expansive (which means that there exists some real such that implies ), and that is a real number such that for every Assume also that for every Then for any and any there exists some such that
and for all indices
which implies in particular, that for all
Properties of cones
Let will be a cone in whose limit into will be denoted by If is non-empty and for every then
so that in particular, for every and every subset To non-trivially relate a subset with its images under and the s, the set
is necessarily a subset of
Injections and embeddings
For any given is injective (resp. a topological embedding) if and only if this is true of for all And for any the map is injective (resp. a topological embedding) if and only if this is true of for every index in which case the limit map and (for ) the restrictions and will also be injective (resp. topological embeddings), and moreover,
will hold on
and
will hold on
If for some index then is the identity morphism on if and only if for every index
Cones in Top
Assume now that the underlying category is Top and that is a cone in If and is an open subset then is an open subset in the subspace
If for some index the image is a dense subset of then is a dense subset of If is directed and then is a dense subset of ; so if in addition is a dense subset of for every index then is a dense subset of
Systems of subsets
The following generalization is of a subsystem is sometimes useful when dealing with limits in Set. Throughout, let be an inverse limit of in Set. Suppose is a cofinal subset of and for every let be a subset of where these subsets are assumed to satisfy
for all in
Then 's restriction to and is the inverse system
where the connecting maps are the restrictions If or is directed then this system is called an inverse system of subsets and if the original system is understood then it will typically be denoted simply by Let
If or if is a directed set then is a limit in Set of this system of subsets in which case, assuming that the original limit and system is clear from context, this conclusion is often written as:
In this way, the vertex of this new inverse system's limit can be identified as subset of the original limit's vertex Moreover, if then the vertex of the canonical limit of is a subset of the vertex of canonical limit of For this reason, inverse limits are often said to be "well-behaved" with respect to the formation of subsets; in contrast, such "proper behavior" with respect to subsets should, in general, not be expected of direct limits. Importantly however, there is in general no guarantee that every subset of arises in this way, as the following example shows:
Example: Let and let and its limit ( M 1 N , ( Pr ≤ i ) i ∈ N ) {\displaystyle \left(M_{1}^{\mathbb {N} },\left(\operatorname {Pr} _{\leq i}\right)_{i\in \mathbb {N} }\right)} both be as defined in the example above so that as explained in that example, the vertex of 's limit is an uncountable set. Let denote the singleton set containing the sequence of zeros and for every let
which is a finite subset of so that the union is a countable subset of Suppose for the sake of contradiction that is a limit of some restricted subsystem For every
so that This proves that which is a cofinal subsystem of so that these systems consequently have isomorphic limits; in particular, the vertex of 's limit is necessarily an uncountable set. This contradiction proves that is not a limit of any restricted subsystem of the form
If is a cone into with limit then which can be rewritten as
In Top, if then [10] meaning that In particular, if is closed in then
Subsets of a system of subsets with the same limit
For every let If is a directed set then
is an -indexed inverse system in Set where the connecting maps are in general not guaranteed to be surjective. If is directed then with the set defined as above, and is a limit of in Set where for every Moreover, the vertex of the canonical limit of is a subset of the vertex of canonical limit of
Examples of limits
Limits of a constant system
Given any object in any category and given a directed set the limit of the constant system is the cone If is a set then the vertex of the canonical limit of this constant system consists of all elements of the product that are constant; that is, all for which there exists some such that for
Greatest index
Suppose is an inverse system in some category and is a partially ordered set with a greatest element which means that for every Then is a limit of in this category. Moreover, if is any limit of then its projection is necessarily an isomorphism.
Pullbacks as limits
A pullback of any two given morphisms and having the same codomain object is an inverse limit of the following inverse system:
where the set of three distinct indices[note 18] is partially ordered by declaring that for any if and only if or ; this makes the least element of where this partially ordered set is not (upward) directed. In terms of the notation this article has been using, for every the th object is and the connecting morphism is (as usual) the identity map; the only remaining connecting morphisms are and because and A limit of this inverse system is a cone into where by the definition of a limit, these morphisms satisfy
and
and thus also
The vertex is typically denoted by and the morphism is usually not mentioned because whenever it is needed, it can be reconstructed from the morphisms
and
via either of the compatibility conditions or The universal property of limits that satisfies can be restated as:
Universal property of pullbacks: If and are any morphisms that satisfy then there exists a unique morphism such that and
This unique morphism is the limit of the cone into where is defined by
Products
Sets of sequences as limits
This example exhibits several limits of finite powers of some given non-empty set (for example, ). The set of all sequences in is identified as a vertex of a limit, making this one of the most elementary non-trivial examples of a limit.
For every natural number let denote the canonical projection defined by As described above, these maps induce a canonical inverse system
where is the map This system has as a limit in Set, where is the canonical projection defined by (the symbols were used above to help define the canonical limit's projections and by using each symbol will continue to denote the map that picks out exactly one component − its th component − and ignores all others; in particular, for this system, if ). In contrast to this limit, if has at least two distinct elements then the vertex of this system's canonical limit (defined above) is a proper subset of even though this product can be canonically identified with via
The elements of the canonical limit are exactly those that are of the form So for instance, if are distinct then under this canonical identification, belongs to but not to the canonical limit (because ). Because it is simpler than the canonical limit, the limit is typically preferred over the canonical limit for this particular system.
If then consists of all possible sequences of 's and 's, and so associating every with the binary number defines a surjective function (explicitly, this function is defined by ). In particular, despite every being a finite set, the vertex of this system's inverse limit is an uncountable set.
For every define a map by
and for every
where only the first two coordinates are out of their usual order.
Then is also a limit of in Set and it has the same vertex as the previous limit ; the only difference is in the projection morphisms. To see that this difference in the projection morphisms is important, set let denote any singleton set, and for every let be defined by which makes a cone into The limit of the cone into is the map defined by whereas the limit of into is the map defined by where only the first two coordinates are out of their natural order. This shows that in general, the projections of the limit cone cannot be discarded as unimportant. In addition, the limit of into the canonical limit is Moreover, the limit of the cone into is the isomorphism of sets (i.e. a bijection) defined by This map happens to also be the limit of the cone into
Arbitrary products as limits
Let be a family of objects in some given category indexed by some set This example demonstrates exactly how a categorical product of the objects is just an inverse limit of a specific inverse system. In the category Set, a categorical product of the sets is just the usual Cartesian product consisting of the set and associated maps where for every index the map
defined by
is called the canonical projection onto the coordinate.
More generally, a
categorical product of in is by definition a pair consisting of an object and a family of morphisms (the notation means that each has prototype ) that satisfy the following universal property:
Universal property of products: For any object and any collection of morphisms, there exists a unique morphism satisfying for every index This unique morphism is called the product of and it may be denoted by [note 19]
The inverse system whose limits correspond exactly to categorical products (and so can be used to define them) is now described. Define a partial order on by declaring that whenever then if and only if The partially ordered set is a directed set if and only if is a singleton set. For every let be the identity map. The resulting tuple
is always a partially ordered inverse system in the given category
A cone into is any pair consisting of morphisms from some object Every inverse limit of in is a categorical product of the objects and conversely, every product of in is a limit of in The universal property of products is nothing more than the specialization of the universal property of inverse limits to the system In particular, the unique morphism associated with mentioned above in the universal property of products is exactly the limit of the cone
So in the category Set, for example, the above mentioned Cartesian product is a limit of In the category Top of topological spaces (so are all topological spaces), endowing with the product topology (which is equal to the weak topology on induced by the projections ) makes a limit of this system in Top.
Evaluating functions
This example demonstrates the potential importance and usefulness of a limit's projections, and how they might be given an interpretation (one that is ubiquitous throughout mathematics). Let be any set and assume that for every index The set of all functions of the form is typically identified with the Cartesian product of ; in fact, one of these is often used as the definition of the other. Consequently, functions may be considered to be inverse limit constructions (because they are elements of the vertex of 's limit in Set). The uniqueness of limits (up to a unique isomorphism, which would be a bijection in this case) means that if denotes any other product of then this cone too should, in theory, be interpretable as the set of all functions of the form despite the fact that the nature of 's elements is unknown (since could be any set with the same cardinality as ). Explicitly, to interpret an arbitrary as a function means that if given any point in "the domain of ", which of course should be defined to be 's index set it should be possible to "evaluate at " (that is, to "plug into ") so as to obtain 's "-value" at this point. No matter how "plugging into " ends up being defined, the notation will be used to denote this -value. This goal is reached by defining the notation as:
In other words, acts on through 's action on [note 20] This definition of the notation is consistent with its usual meaning when the limit happens to equal the ordinary Cartesian product (with its usual definition and projections).
Convergent filters
This example shows how inverse limits can be used to characterize filter convergence in a topological space Let where denotes the power set of and for any families let consist solely of the inclusion map if and let otherwise. These definitions of morphisms makes into a concrete category. For any and if is the empty set then let and otherwise, let denote the smallest (with respect to ) dual ideal on containing as a subset (a dual ideal on is either or else a filter on ; if then is equal to the upward closure in of the π-system generated by ).
Let denote the neighborhood filter at some given point and partially order this set by superset inclusion (that is, declare if and only if ). Let be any (proper) filter on so that in implies For all in let and let which makes
a directed inverse system in and also makes a cone into where
The filter converges to in if and only if is a limit of in In symbols,
in if and only if in
Because this system is directed, this characterization of filter convergence remains true if the indexing set is replaced by some given neighborhood basis at (that is, in if and only if is a limit of in ).
Compact connected separable metrizable finite-dimensional topological abelian groups
Let TAG denote the category whose objects are topological abelian groups (TAGs), such as the n {\displaystyle n}
-torus (consisting of factors of the unit circle), and whose morphisms are continuous group homomorphisms. Suppose an integer. An -solenoid refers to any topological group that is a vertex of a limit in TAG of some surjective inverse system of the form whose objects are for every index Every compact connected separable metrizable TAG with topological dimension is an -solenoid and conversely, every -solenoid is a compact connected separable metrizable -dimensional TAG.[11]
Pro-finite groups and algebraic examples
Pro-finite groups, -adic integers, and -adic solenoids
Pro-finite groups are defined as inverse limits of (discrete) finite groups.
The ring of p {\displaystyle p}
-adic integers is the inverse limit of the rings (see modular arithmetic) with the index set being the natural numbers with the usual order, and the morphisms being "take remainder". That is, one considers sequences of integers such that each element of the sequence "projects" down to the previous ones, namely, that whenever The natural topology on the -adic integers is the one implied here, namely the product topology with cylinder sets as the open sets.
The set of infinite strings is the inverse limit of the set of finite strings, and is thus endowed with the limit topology. As the original spaces are discrete, the limit space is totally disconnected. This is one way of realizing the p {\displaystyle p}
-adic numbers and the Cantor set (as infinite strings).
The p {\displaystyle p}
-adic solenoid is the inverse limit of the -index compact Hausdorff groups and the morphisms being "take remainder". That is, one considers sequences of real numbers such that each element of the sequence "projects" down to the previous ones, namely, that whenever
Formal power series
The ring of formal power series over a commutative ring can be thought of as the inverse limit of the rings indexed by the natural numbers as usually ordered, with the morphisms from to given by the natural projection.
Intersections as limits
Intersections and unions
Let be a non-empty family of sets and define
and
This example will turn into an inverse system and then later, also into a direct system. Given any sets and such that let
denote the inclusion map (defined by ). Let and for every let so that Thus is the systems' indexing set, and the systems' objects are the elements of The superset inclusion relation and the subset inclusion relation each define a partial order on the set For example, is a partially ordered set because if is denoted by (that is, if we define if and only if so that subsets are considered "greater" while supersets are considered "lesser") then is an antisymmetric preorder on The index of the codomain of with respect to is less than or equal to the index of its domain (because which is if the notation above is used). So with respect to the partial order these inclusions maps might be expected to form an inverse system (and not a direct system), and indeed the tuple
does form a partially ordered inverse system because if are indices then If is a directed set and if then is an inverse limit of in the category Set. The indexing set has a greatest element if and only if in which case is this (unique) greatest element.
So for example, suppose is a subset of the interval and let Assuming that if is the family then this system's limit will be the empty cone whereas if is then this limit's vertex will be and its projections will be the inclusion maps of into each interval. If instead then each of these families will have a greatest element with respect to these being the non-empty intervals and respectively. In this case, the vertex of this limit will be this greatest element and the projections will be the inclusion maps into the other intervals (so in this case, each of this limit's projections is also a connecting morphism of the system). If however then none of these families will have this limit's (necessarily non-empty) vertex as an element.
Consider now which is the transpose of The index of the codomain of with respect to is greater than or equal to the index of its domain (because ). So with respect to the partial order these inclusions maps might be expected to form a direct system (and not an inverse system), and indeed this is the case because as mentioned above, the transpose
of the inverse system is necessarily a direct system. If is a directed set and if then is a direct limit in Set of the direct system The indexing set has a greatest element if and only if in which case is this (unique) greatest element.
This example demonstrates why in general, intersections are considered to be "inverse limit constructions" while unions (which are the "dual" of intersections) are considered to be "direct limit constructions." This duality extends further. For instance, Cartesian products (which are products in the category of sets) are generally considered to be inverse limit constructions while disjoint unions (which are coproducts in the category of sets and are the "dual" to products) are considered direct limit constructions.
Returning to inverse limits, when is not a directed set, which will now be assumed, then constructing a limit of that is easier to work with than the canonical limit becomes more technically challenging. One issue with the canonical limit of this system is that it may be difficult to determine its basic properties, such as for instance, whether or not the its vertex is the empty set. Indeed, it is even possible for this limit to be a Cartesian product of sets. One special case is now considered. For all let and let If there exists some such that is the empty set then the limit of in Set is necessarily the empty cone.
Smooth functions defined via limits without differentiation
Let be a convex open subset of and fix Let be the algebra of continuous -valued functions on and let for all For each integer define the bonding map by
where by it is meant the continuous function defined on (if then is an empty list). For the map is defined in the usual way (e.g. etc.). Each is an injective map (a fact that can be verified by using Taylor's theorem, for example) so that the same is true of every bonding map Consequently, the intersection of the images is a limit of this inverse system (where this limit's projection into is the restriction to of the inverse of the bijection ).
This limit is now shown to be the set of smooth functions on Suppose Then if and only if for some real and some which by Taylor's theorem happens if and only if is continuously differentiable (i.e. ). By induction, if and only if
for some real and some which by Taylor's theorem is true if and only if (in this case, is the derivative of at ). Thus the limit of the above system is Note that this construction of the smooth functions on does not use (or even need) the definition of a derivative (Taylor's theorem was only used to identify the resulting limit as the set of smooth functions). This construction can be generalized to define smooth functions on a convex open subset of where
Inverse system morphisms
Throughout, and will be inverse systems in some category An inverse system morphism (ISM) from to is a pair consisting of
an order-preserving map ; that is, whenever satisfy and
an -indexed collection of morphisms where for every is a morphism in
with the property that for all satisfying
That is, the following diagram must commute:
This situation may be summarized by writing that is a morphism (of inverse systems).
Composition of inverse system morphisms
If is another inverse system and is an inverse system morphism (so is order-preserving and is a morphism for all ) then the composition
is defined to be the inverse system morphism
consisting of the order morphism and the -indexed morphisms By endowing inverse system morphisms with this definition of composition, the class of all inverse systems in a given category becomes a category.
Limit of an inverse system morphism
Assume that is an inverse limit of and that is an inverse limit of The canonical conefrominduced by (or associated with) the ISM is the cone
from into where the family may be denoted by The limitfrom into of the inverse system morphism is defined to be the limit of the canonical cone This limit is a morphism which may also be denoted by or This limit morphism is the unique morphism satisfying
for all
in which case the following diagram will commute for all indices satisfying :
It is in general not true that for given inverse systems, every morphism between inverse limits arises as the limit of an inverse system morphism. Specifically, in the category of sets, (together with the canonical projections ) is a limit of the surjective inverse system and there exists an isomorphism such that is not equal to the limit of any inverse system morphism of the form When the space of all real sequences is endowed with the usual product topology then this map is even a homeomorphism. Moreover, when is considered as a topological vector space (TVS) then both and are continuously differentiable with respect to the Fréchet derivative and for each, its Fréchet derivative at any point of its domain is an isomorphism of TVSs. Each coordinate of is smooth and the same is true of each coordinate of
Equivalence transformations
Two inverse systems over the same category are said to be equivalent (in the given category) if there exists an equivalence transformation between them. Two inverse system morphisms and are said to form an equivalence transformation (of inverse systems) if
for all
and also
for all
In this case, the following diagrams will commute for all in and all in :
and
from which it follows that in particular, the following diagram will also commute.
Equivalent systems have isomorphic limits.
Examples of inverse system morphisms and their limits
Identity morphisms
Suppose that is an inverse system indexed by that has a limit If is the identity morphism and if for every is also the identity morphism, then is an inverse system morphism whose limit from and into is the identity morphism
Series
Let be a subset of an additive group that contains the additive identity is closed under addition, and has the property that if is non-zero then its additive inverse does not belong to (alternatively, with implies ). For example, could be or or or even the complex plane's upper half
For all natural numbers let and let denote the canonical projection defined by so that as described in an example above, these maps form an inverse system
that has as a limit in Set, where is the canonical projection defined by .
For every let and let be the map defined by
where in particular, Let
be the canonical inverse system that these maps induce and let be the canonical limit of in Set. Elements of the canonical limit's vertex are exactly those elements of that are of the form where for all integers both and belong to and Intuitively, elements of can be identified with infinite lists of equations of the form:
where all and belong to (This interpretation often generalizes and may help to explain why the limits of some inverse systems are empty: nothing satisfies that system's infinite list of requirements.) For example, the sequence of all s belongs to And given any and any the sequence (where is added to every ) will also belong to
Let be defined by For every let be the canonical projection as defined above. Then is an inverse system morphism because the following diagram commutes for all :
Let denote the limit of from into If is as described above, then this element's image under is ; thus "forgets" every but remembers every Observe, in particular, that the map both the systems and and their limits and are not dependent on any topology.
Assume now that Then is neither injective nor surjective. And despite being completely independent of any topology, it is readily verified that an element belongs to 's image if and only if the series converges in with its usual Euclidean topology. In this way, inverse limits in the category Set of sets can be used to completely characterize those non-negative real sequences that are absolutely convergent in (with its usual topology). However, because is not injective, it is not possible to use to (non-arbitrarily) assign a distinguished "sum" to such a convergent series (that is, to each element in ); to do that, it is necessary to pick a topology on (such as the Euclidean topology, for example).
Derived functors of the inverse limit
For an abelian category the inverse limit functor
is left exact. If is ordered (not simply partially ordered) and countable, and is the category Ab of abelian groups, the Mittag-Leffler condition is a condition on the transition morphisms that ensures the exactness of Specifically, Eilenberg constructed a functor
(pronounced "lim one") such that if and are three inverse systems of abelian groups, and
is a short exact sequence of inverse systems, then
is an exact sequence in Ab.
Mittag-Leffler condition
If the ranges of the morphisms of an inverse system of abelian groups are stationary, that is, for every there exists such that for all : one says that the system satisfies the Mittag-Leffler condition.
The name "Mittag-Leffler" for this condition was given by Bourbaki in their chapter on uniform structures for a similar result about inverse limits of complete Hausdorff uniform spaces. Mittag-Leffler used a similar argument in the proof of Mittag-Leffler's theorem.
The following situations are examples where the Mittag-Leffler condition is satisfied:
a system in which the morphisms are surjective
a system of finite-dimensional vector spaces or finite abelian groups or modules of finite length or Artinian modules.
An example[12]pg 83 where is non-zero is obtained by taking to be the non-negative integers, letting and Then
where denotes the p-adic integers.
Further results
More generally, if is an arbitrary abelian category that has enough injectives, then so does and the right derived functors of the inverse limit functor can thus be defined. The right derived functor is denoted
In the case where satisfies Grothendieck's axiom (AB4*), Jan-Erik Roos generalized the functor lim1 on AbI to series of functors limn such that
It was thought for almost 40 years that Roos had proved (in Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications) that for an inverse system with surjective transition morphisms and the set of non-negative integers (such inverse systems are often called "Mittag-Leffler sequences"). However, in 2002, Amnon Neeman and Pierre Deligne constructed an example of such a system in a category satisfying (AB4) (in addition to (AB4*)) with Roos has since shown (in "Derived functors of inverse limits revisited") that his result is correct if has a set of generators (in addition to satisfying (AB3) and (AB4*)).
Barry Mitchell has shown (in "The cohomological dimension of a directed set") that if has cardinality (the th infinite cardinal), then is zero for all This applies to the -indexed diagrams in the category of -modules, with a commutative ring; it is not necessarily true in an arbitrary abelian category (see Roos' "Derived functors of inverse limits revisited" for examples of abelian categories in which on diagrams indexed by a countable set, is nonzero for ).
See also
Cartesian closed category – Type of category in category theory
Direct limit
Equaliser (mathematics) – Set of arguments where two or more functions have the same value
Limit (category theory) – Terminology used in theoretical mathematics involving categories.
Product (category theory) – Generalized object in category theory
Protorus – Mathematical object
Notes
^By treating as a set, the notation is consequently a family of morphisms indexed by the set so this family can be denoted by
^Mnemonic: The two "inner"/"middle" indices in which is the left hand side of the compatibility condition should always be the same in order for the composition to be guaranteed to be valid/well-defined. For example, the composition is valid because both middle indices are whereas if then the composition might not even be well-defined (unless, for instance, it happens to be the case that ). Moreover, this common "inner"/"middle" index is missing from the "simplified" right hand side of this equality.
^Some authors, such as Dugundji, do not require that be the identity map. The definition of the inverse limit of such a generalized system is identical to the definition given below.
^This is abuse of notation and terminology since calling an inverse system is technically incorrect.
^Although is equal to this article will use the notation instead of because, for instance, the statement " is less than or equal to with respect to " (which unambiguously means ) is clearer and less ambiguous to non-specialists than the equivalent statement: " is less than or equal to with respect to " (also meaning but the latter is usually read as " is greater than or equal to ", which might cause confusion).
^The word "onto" is purposefully not used because despite being called a "projection," might not be an epimorphisms (e.g. a surjection). Examples of this can even be found in the category of sets.
^It is emphasized that in general, this one-to-one correspondence depends on both the object and the morphisms
^A partition of has (Property 1) if and only if every is equal to a union of one or more of the (soon to be defined) sets belonging to For every let denote the set of all for which there exists some integer and some finite sequence of elements in starting at and ending at such that each is comparable to both its predecessor and its successor (if any). If then and if are comparable then Because the "is comparable to" relation is symmetric, if then if and only if The family is always a partition of If is any cover of by non-empty sets that has (Property 1), then and implies
^Given the limit of is a cone into so that by definition, whenever satisfy (so ) then The universal property of limits guarantees that if is any cone into then there exists a unique morphism such that for all
^In order for the tuple to form an inverse system, for all real the connecting map would need to have prototype which is the exact opposite of the actual prototype
^Just like the set is a cofinal subset of the directed set Consequently, and its subsystems and all have the same limit (up to a unique isomorphism).
^For an example of how this might happen, consider an inverse system whose objects are all non-empty sets but whose limit in Set is the empty cone (so and for every ). Assuming that has a least element and that is a singleton set, say then for every index because every is non-empty, but there nevertheless does not exist any such that An alternative to assuming that has a least element and that is a singleton set is to instead extend and its limit cone by appending a new least element to the indexing set letting be any singleton set, and defining and each in the only possible way, so that each map is necessarily surjective and This new extended cone which is still an empty cone, is necessarily a limit of this new extended system. Thus despite the fact that for every index
^Here it is being assumed that all of the sets are pairwise disjoint; if they are not then they can be identified with (or replaced by) pairwise disjoint copies.
^These two sets will be equal to each other if, for instance, all of the maps are injective for all real
^For a much less technical interpretation that is more accessible to the general public and grounded in the physical world, rather than interpreting an element as a state in some abstract state space, consider instead as representing some particle as it exists at time and let its successor instead represent this particle as it exists at the future time (Instead of a particle, could instead represent a ship belonging to Theseus at time to name just one more of the unlimited number of possible interpretations). Then the equivalence class that belongs to the resulting canonical direct limit may be interpreted as representing "the particle considered as a single entity existing throughout time" as opposed to the extreme opposite view that at any two distinct times the particle as it exists at time is distinct/different from its "future self" as it exists at time (this may also be described as being the assumption that all of the sets are pairwise disjoint, which if true, greatly simplifies the construction of the canonical direct limit by obviating the otherwise necessary step of constructing pairwise disjoint copies of these sets). The canonical direct limit's morphism can be interpreted as the bridge between (1) viewing the particle as infinitely many distinct instances (as time varies over ) and (2) viewing it as a single entity existing throughout time. Any element of the canonical inverse limit passing through (i.e. satisfying ) can then be interpreted as one particular "timeline" of particles that eventually became at time
^A unique thread passing through exists if and only if the fiber is a singleton set for every If is injective for all real then for every there will exist at most one thread passing through ; under these injectivity assumptions, it will exist if and only if for every real (or equivalently, for every in some infinite unbounded subset of ).
^Even if there does not exist any element in satisfying these conditions, if is any limit of the subsystem then there will exist some (rather than in ) satisfying for every
^The objects and are treated as if they are distinct although if they are not, then 's elements may respectively be replaced by the distinct symbols and or alternatively, by any other three distinct objects or symbols such as and for instance.
^This morphism is denoted by instead of because this latter notation is typically used to denote the map (where for every ) defined by
^This definition (i.e. ) of "plugging into " depends on the notion of "plugging into ," which seems to produce a "chicken or egg" situation for the definition of "plugging in a value". However, only is guaranteed to be a function (i.e. a morphism in Set), which means that it may be defined in the usual way as the set of pairs whereas whose nature is unknown, is only being interpreted as a function. This solution thus uses set theory to resolve this "chicken or egg" problem.
Cite error: A list-defined reference with group name "note" is not used in the content (see the help page).
Proofs
^Fix and let be such that and Proving will show that is well-defined. Pick any such that and and then pick such that Because the equality holds and so Similarly, follows because Thus
^Let be any singleton set and for every define by where by assumption Then is a cone into the system because it satisfies whenever Define by and Then is a limit of the cone because for every The same is true of and so the universal property of inverse limits implies that
^Let and for every let be defined for every by if and otherwise. The map defined by is a net in Because is compact by Tychonoff's theorem, this net has a convergent subnet, meaning that there is some order-preserving map such that a cofinal subset of and the (sub)net defined by converges in to some element This limit point is unique because is Hausdorff. Using this fact, it can be shown that necessarily belongs to the canonical limit
References
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