Cohomología
En matemáticas , específicamente en la teoría de la homología y la topología algebraica , la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos , generalmente uno asociado con un espacio topológico , a menudo definido a partir de un complejo cocadena . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos más ricos a un espacio que la homología. Algunas versiones de cohomología surgen al dualizar la construcción de homología. En otras palabras, las cochains son funciones en el grupo de cadenas en la teoría de la homología.
Desde sus inicios en topología , esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Desde la idea inicial de la homología como método de construcción de invariantes algebraicos de espacios topológicos, la gama de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido a lo largo de la geometría y el álgebra . La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante , es más natural que la homología en muchas aplicaciones. En un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y retrocesos en situaciones geométricas: espacios dados X e Y , y algún tipo de función F en Y, Para cualquier mapeo f : X → Y , la composición con f da lugar a una función F ∘ f en X . Las teorías de cohomología más importantes tienen un producto, el producto de copa , que les da una estructura de anillo . Debido a esta característica, la cohomología suele ser una invariante más fuerte que la homología.
La cohomología singular es una poderosa invariante en topología, que asocia un anillo conmutativo graduado con cualquier espacio topológico. Todo mapa continuo f : X → Y determina un homomorfismo del anillo de cohomología de Y al de X ; Esto pone restricciones fuertes sobre los posibles mapas de X a Y . A diferencia de invariantes más sutiles como los grupos de homotopía , el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para espacios de interés.
Para un espacio topológico X , la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular : [1]
Por definición, la homología singular de X es la homología de este complejo de cadena (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior). En más detalle, C i es el grupo abeliano libre en el conjunto de mapas continuos desde el estándar i -simplex a X (llamado "singular i -simplices en X "), y ∂ i es el i- ésimo homomorfismo de límite. Los grupos C i son cero para i negativo.
Ahora fije un grupo abeliano A y reemplace cada grupo C i por su grupo dual y por su homomorfismo dual
