En matemáticas, el concepto de operación de cohomología se volvió central para la topología algebraica , particularmente la teoría de homotopía , desde la década de 1950 en adelante, en la forma de la definición simple de que si F es un funtor que define una teoría de cohomología , entonces una operación de cohomología debería ser una transformación natural de F a sí mismo. A lo largo ha habido dos puntos básicos:
- las operaciones pueden estudiarse por medios combinatorios; y
- el efecto de las operaciones es producir una teoría bicommutante interesante .
El origen de estos estudios fue el trabajo de Pontryagin, Postnikov y Norman Steenrod , quienes primero definieron las operaciones del cuadrado de Pontryagin , el cuadrado de Postnikov y el cuadrado de Steenrod para la cohomología singular , en el caso de los coeficientes mod 2. El aspecto combinatorio surge como una formulación de la falla de un mapa diagonal natural, a nivel de cochain . La teoría general del álgebra de operaciones de Steenrod se ha puesto en estrecha relación con la del grupo simétrico .
En la secuencia espectral de Adams, el aspecto bicommutante está implícito en el uso de los functores Ext , los functores derivados de los functores Hom; si hay un aspecto bicommutante, asumido por el álgebra de Steenrod actuando, es solo en un nivel derivado . La convergencia es para grupos en la teoría de homotopía estable , sobre los cuales es difícil obtener información. Esta conexión estableció el profundo interés de las operaciones de cohomología para la teoría de la homotopía , y ha sido un tema de investigación desde entonces. Una teoría de cohomología extraordinaria tiene sus propias operaciones de cohomología, y estas pueden exhibir un conjunto más rico de restricciones.
Definicion formal
Una operación de cohomología de tipo
es una transformación natural de los functores
definido en complejos CW .
Relación con los espacios Eilenberg-MacLane
La cohomología de los complejos CW es representable por un espacio de Eilenberg-MacLane , por lo que por el lema de Yoneda una operación de cohomología de tipoviene dada por una clase de mapas de homotopía. Utilizando la representabilidad una vez más, la operación de cohomología viene dada por un elemento de.
Simbólicamente, dejar denotar el conjunto de clases de homotopía de mapas de a ,
Ver también
Referencias
- Mosher, Robert E .; Tangora, Martin C. (2008) [1968], Operaciones y aplicaciones de cohomología en la teoría de la homotopía , Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46664-4, MR 0226634
- Steenrod, NE (1962), Epstein, DBA (ed.), Operaciones de cohomología , Annals of Mathematics Studies, 50 , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07924-0, MR 0145525