En topología algebraica , Henri Cartan ( 1955 ) definió un álgebra de Steenrod como el álgebra de operaciones de cohomología estable para mod. cohomología.
Para un número primo dado , el álgebra de Steenrod es el álgebra de Hopf graduada sobre el campo de orden , que consta de todas las operaciones de cohomología estable para mod cohomología . Es generado por los cuadrados Steenrod introducidos por Norman Steenrod ( 1947 ) para, y por el Steenrod reducidolos poderes introducidos en Steenrod y el homomorfismo de Bockstein para.
El término "álgebra de Steenrod" también se utiliza a veces para el álgebra de operaciones de cohomología de una teoría de cohomología generalizada .
Operaciones de cohomología
Una operación de cohomología es una transformación natural entre functores de cohomología. Por ejemplo, si tomamos la cohomología con coeficientes en un anillo , la operación de cuadratura del producto en taza produce una familia de operaciones de cohomología:
Las operaciones de cohomología no necesitan ser homomorfismos de anillos graduados; consulte la fórmula de Cartan a continuación.
Estas operaciones no conmutan con suspensión , es decir, son inestables. (Esto es porque si es una suspensión de un espacio , el producto de taza sobre la cohomología de es trivial.) Steenrod construyó operaciones estables
para todos mayor que cero. La notación y su nombre, los cuadrados Steenrod, proviene del hecho de que restringido a clases de grado es el cuadrado de la taza. Hay operaciones análogas para coeficientes primarios impares, generalmente denotados y llamó al reducido -a operación de potencia:
La generar un álgebra graduada conectada sobre , donde la multiplicación viene dada por la composición de operaciones. Este es el álgebra de Steenrod mod 2. En el caso, el mod El álgebra de Steenrod es generada por y la operación Bockstein asociado a la breve secuencia exacta
- .
En el caso , el elemento Bockstein es y el reducido -ésimo poder es .
Como anillo de cohomología
Podemos resumir las propiedades de las operaciones de Steenrod como generadores en el anillo de cohomología de los espectros de Eilenberg-Maclane
- ,
ya que hay un isomorfismo
dando una descomposición de suma directa de todas las posibles operaciones de cohomología con coeficientes en . Tenga en cuenta que el límite inverso de los grupos de cohomología aparece porque es un cálculo en el rango estable de grupos de cohomología de los espacios de Eilenberg-Maclane. Este resultado [1] fue calculado originalmente [2] pág. 277 por Cartan [3] pág. 7 y Serre. [4]
Tenga en cuenta que hay una caracterización dual [2] pg 279 que usa homología para el álgebra de Steenrod dual .
Comentario sobre la generalización a las teorías de cohomología generalizadas
Debe observarse si el espectro de Eilenberg-Maclane es reemplazado por un espectro arbitrario , entonces existen muchos desafíos para estudiar el anillo de cohomología . En este caso, el álgebra de Steenrod dual generalizada debe considerarse en su lugar porque tiene propiedades mucho mejores y se puede estudiar de manera manejable en muchos casos (como ) [2] pág . 280 . De hecho, estos espectros de anillo son conmutativos y el bimódulos son planos. En este caso, se trata de una acción canónica de en para cualquier espacio , de tal manera que esta acción se comporta bien con respecto a la categoría de homotopía estable, es decir, existe un isomorfismo
Caracterización axiomática
Norman Steenrod y David BA Epstein ( 1962 ) demostraron que los cuadrados de Steenrod se caracterizan por los siguientes 5 axiomas:
- Naturalidad: es un homomorfismo aditivo y es funcional con respecto a cualquier entonces .
- es el homomorfismo de identidad.
- por .
- Si luego
- Fórmula de Cartan:
Además, los cuadrados Steenrod tienen las siguientes propiedades:
- es el homomorfismo de Bockstein de la secuencia exacta
- conmuta con el morfismo de conexión de la larga secuencia exacta en cohomología. En particular, conmuta con respecto a la suspensión
- Satisfacen las relaciones Ádem, descritas a continuación
De manera similar, los siguientes axiomas caracterizan la reducción -ésimos poderes para .
- Naturalidad: Es un homomorfismo aditivo y natural.
- es el homomorfismo de identidad.
- es la copa -th power en clases de grado .
- Si luego
- Fórmula de Cartan:
Como antes, las p -ésimas potencias reducidas también satisfacen las relaciones Ádem y conmutan con los operadores de suspensión y límite.
Ádem relaciones
Las relaciones Ádem para fueron conjeturadas por Wen-tsün Wu ( 1952 ) y establecidas por José Ádem ( 1952 ). Son dadas por
para todos tal que . (Los coeficientes binomiales deben interpretarse mod 2.) Las relaciones de Ádem permiten escribir una composición arbitraria de cuadrados de Steenrod como una suma de elementos base de Serre-Cartan.
Por extraño las relaciones de Ádem son
para un < pb y
por .
Identidades Bullett-Macdonald
Shaun R. Bullett e Ian G. Macdonald ( 1982 ) reformularon las relaciones de Ádem como las siguientes identidades.
Para poner
entonces las relaciones de Ádem son equivalentes a
Para poner
entonces las relaciones de Ádem son equivalentes a la afirmación de que
es simétrico en y . Aquí es la operación de Bockstein y .
Interpretación geométrica
Hay una interpretación geométrica sencilla y agradable de los cuadrados de Steenrod utilizando variedades que representan clases de cohomología. Suponer es una variedad suave y considera una clase de cohomología representado geométricamente como una subvariedad suave . Cohomológicamente, si dejamos representan la clase fundamental de luego el mapa pushforward
da una representación de . Además, asociado a esta inmersión hay un paquete de vectores real llamado paquete normal. Los cuadrados Steenrod deahora pueden entenderse: son el impulso de las clases Stiefel-Whitney del paquete normal
lo que da una razón geométrica de por qué los productos Steenrod eventualmente desaparecen. Tenga en cuenta que debido a que los mapas de Steenrod son homomorfismos de grupo, si tenemos una clase que se puede representar como una suma
donde el se representan como variedades, podemos interpretar los cuadrados de las clases como sumas de los empujes hacia adelante de los paquetes normales de sus variedades suaves subyacentes, es decir,
Además, esta equivalencia está fuertemente relacionada con la fórmula de Wu .
Computaciones
Espacios proyectivos complejos
En el plano proyectivo complejo , solo existen los siguientes grupos de cohomología no triviales,
- ,
como se puede calcular usando una descomposición celular. Esto implica que el único producto Steenrod no trivial posible es en ya que da el producto de taza sobre cohomología. Como la estructura del producto de la taza enno es trivial, este cuadrado no es trivial. Hay un cálculo similar en el complejo espacio proyectivo , donde los únicos cuadrados no triviales son y las operaciones de cuadratura sobre los grupos de cohomología que representa el producto de taza . En la plaza
se puede calcular utilizando las técnicas geométricas descritas anteriormente y la relación entre las clases de Chern y las clases de Steifel-Whitney; tenga en cuenta que representa la clase distinta de cero en . También se puede calcular directamente usando la fórmula de Cartan ya que y
Espacio proyectivo real infinito
Las operaciones de Steenrod para espacios proyectivos reales se pueden calcular fácilmente utilizando las propiedades formales de los cuadrados de Steenrod. Recordar que
dónde Para las operaciones en lo sabemos
La relación de Cartan implica que el cuadrado total
es un homomorfismo de anillo
Por eso
Como solo hay un grado componente de la suma anterior, tenemos que
Construcción
Suponer que es cualquier grado subgrupo del grupo simétrico en puntos, una clase de cohomología en , un grupo abeliano actuado por , y una clase de cohomología en . Error de harvtxt de Steenrod (1953) : objetivos múltiples (2 ×): CITEREFSteenrod1953 ( ayuda ) mostró cómo construir una potencia reducida en , como sigue.
- Tomando el producto externo de consigo mismo veces da un ciclo equivariante en con coeficientes en .
- Escoger ser un espacio contráctil en el que actúa libremente y un mapa equivariante de a Retirarse por este mapa da un ciclo equivariante en y por lo tanto un ciclo de con coeficientes en .
- Tomando el producto inclinado con en da un ciclo de con coeficientes en .
Los cuadrados Steenrod y los poderes reducidos son casos especiales de esta construcción donde es un grupo cíclico de primer orden actuando como una permutación cíclica de elementos, y los grupos y son cíclicos de orden , así que eso también es cíclico de orden .
Propiedades del álgebra de Steenrod
Además de la estructura axiomática que satisface el álgebra de Steenrod, tiene una serie de propiedades útiles adicionales.
Base para el álgebra de Steenrod
Jean-Pierre Serre ( 1953 ) (por) y Henri Cartan ( 1954 , 1955 ) (por) describió la estructura del álgebra de Steenrod de mod estable operaciones de cohomología, mostrando que es generado por el homomorfismo de Bockstein junto con los poderes reducidos de Steenrod, y las relaciones de Ádem generan el ideal de relaciones entre estos generadores. En particular, encontraron una base explícita para el álgebra de Steenrod. Esta base se basa en una cierta noción de admisibilidad para secuencias enteras. Decimos una secuencia
es admisible si para cada, tenemos eso . Entonces los elementos
dónde es una secuencia admisible, forma una base (la base de Serre-Cartan) para el álgebra de Steenrod mod 2, llamada la base admisible . Hay una base similar para el caso. que consta de los elementos
- ,
tal que
Estructura del álgebra de Hopf y la base de Milnor
El álgebra de Steenrod tiene más estructura que un graduado -álgebra. También es un álgebra de Hopf , por lo que en particular hay un mapa diagonal o de multiplicación
inducida por la fórmula de Cartan para la acción del álgebra de Steenrod en el producto de taza. Este mapa es más fácil de describir que el mapa de productos y viene dado por
- .
Estas fórmulas implican que el álgebra de Steenrod es coconmutativa .
El dual lineal de hace que el dual lineal (graduado) de A en álgebra. John Milnor ( 1958 ) demostró, por, que es un álgebra polinomial , con un generador de grado , para cada k , y para el álgebra de Steenrod dual es el producto tensorial del álgebra polinomial en generadores de grado y el álgebra exterior en generadores τ k de grado . La base monomial paraluego da otra opción de base para A , llamada base de Milnor. El dual del álgebra de Steenrod es a menudo más conveniente para trabajar, porque la multiplicación es (super) conmutativa. La comultiplicación paraes el dual del producto en A ; es dado por
- dónde , y
- Si .
Los únicos elementos primitivos de por son los elementos de la forma , y estos son duales a los (los únicos indecomponibles de A ).
Relación con grupos formales
Las álgebras de Steenrod duales son álgebras de Hopf superconmutativas, por lo que sus espectros son esquemas de supergrupo de álgebra. Estos esquemas de grupo están estrechamente relacionados con los automorfismos de grupos formales aditivos unidimensionales. Por ejemplo, si entonces el álgebra de Steenrod dual es el esquema grupal de automorfismos del esquema grupal formal aditivo unidimensional que son la identidad de primer orden. Estos automorfismos son de la forma
Álgebras finitas sub-Hopf
La El álgebra de Steenrod admite una filtración por álgebras finitas sub-Hopf. Comoes generado por los elementos [5] pág. 47
- ,
podemos formar subálgebras generado por los cuadrados Steenrod
- ,
dando la filtración
Estas álgebras son significativas porque pueden usarse para simplificar muchos cálculos de secuencia espectral de Adams, como para , y [6] pág . 63-67 .
Construcción algebraica
Larry Smith ( 2007 ) dio la siguiente construcción algebraica del álgebra de Steenrod sobre un campo finito de orden q . Si V es un espacio vectorial sobrea continuación, escribir SV para el álgebra simétrica de V . Hay un homomorfismo de álgebra
donde F es el endomorfismo de Frobenius de SV . Si ponemos
o
por entonces si V es de dimensión infinita los elementosgenerar un isomorfismo de álgebra a la subálgebra del álgebra de Steenrod generado por las potencias p ′ ésimas reducidas para p impar, o los cuadrados de Steenrod pares por .
Aplicaciones
Las primeras aplicaciones del álgebra de Steenrod fueron cálculos de Jean-Pierre Serre de algunos grupos homotópicos de esferas, utilizando la compatibilidad de diferenciales transgresivos en la secuencia espectral de Serre con las operaciones de Steenrod, y la clasificación de René Thom de variedades suaves hasta el cobordismo, a través de la identificación del anillo graduado de las clases de bordismo con los grupos de homotopía de los complejos de Thom, en un rango estable. Este último fue refinado para el caso de colectores orientados por CTC Wall . Una famosa aplicación de las operaciones de Steenrod, que involucra factorizaciones a través de operaciones de cohomología secundarias asociadas a relaciones de Adem apropiadas, fue la solución de J. Frank Adams del problema invariante uno de Hopf . Una aplicación del álgebra de Steenrod mod 2 que es bastante elemental es el siguiente teorema.
Teorema . Si hay un mapadel invariante de Hopf uno , entonces n es una potencia de 2.
La prueba usa el hecho de que cada es descomponible para k que no es una potencia de 2; es decir, tal elemento es un producto de cuadrados de grado estrictamente menor.
Conexión con la secuencia espectral de Adams y los grupos de esferas de homotopía
La cohomología del álgebra de Steenrod es la término para la secuencia espectral ( p -local ) de Adams , cuyo pilar es el p -componente de los grupos homotópicos estables de esferas. Más específicamente, el término de esta secuencia espectral puede identificarse como
Esto es lo que se quiere decir con el aforismo "la cohomología del álgebra de Steenrod es una aproximación a los grupos de esferas de homotopía estable".
Ver también
- Operación de cohomología de Pontryagin
- Álgebra de Steenrod dual
- Operación de cohomología
Referencias
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Pedagógico
- Malkiewich, Cary, The Steenrod Algebra (PDF) , archivado desde el original el 15 de agosto de 2017CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace )
- Clases de características : contiene más cálculos, como para las variedades de Wu.
- Cuadrados de Steenrod en la secuencia espectral de Adams : contiene interpretaciones de términos Ext y cuadrados de Streenrod
Entorno motivador
- Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica
- Cohomology motívica con Z / 2 -coefficients
- Espacios Motivic Eilenberg – Maclane
- La homotopía de C {\ Displaystyle \ mathbb {C}} -formas modulares motivadoras - relaciona a motivic tmf
Referencias
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