En matemáticas , la teoría de la homotopía estable es la parte de la teoría de la homotopía (y por tanto de la topología algebraica ) que se ocupa de todas las estructuras y fenómenos que quedan después de muchas aplicaciones del functor de suspensión . Un resultado fundamental fue el teorema de suspensión de Freudenthal , que establece que dado cualquier espacio puntiagudo , los grupos de homotopía estabilizar para suficientemente largo. En particular, los grupos homotópicos de esferas estabilizar para . Por ejemplo,
En los dos ejemplos anteriores, todos los mapas entre grupos de homotopía son aplicaciones del functor de suspensión . El primer ejemplo es un corolario estándar del teorema de Hurewicz , que. En el segundo ejemplo, el mapa Hopf ,, se asigna a su suspensión que genera .
Uno de los problemas más importantes en la teoría de la homotopía estable es el cálculo de grupos de esferas de homotopía estable . Según el teorema de Freudenthal, en el rango estable los grupos de esferas de homotopía dependen no de las dimensiones específicas de las esferas en el dominio y el objetivo, sino de la diferencia en esas dimensiones. Teniendo esto en cuenta, la k -ésima raíz estable es
- .
Este es un grupo abeliano para todos los k . Es un teorema de Jean-Pierre Serre [1] que estos grupos son finitos para. De hecho, la composición haceen un anillo graduado. Un teorema de Goro Nishida [2] establece que todos los elementos de clasificación positiva en este anillo son nilpotentes. As, los nicos ideales primos son los primos en. Entonces la estructura de es bastante complicado.
En el tratamiento moderno de la teoría de la homotopía estable, los espacios suelen ser reemplazados por espectros . Siguiendo esta línea de pensamiento, se puede crear toda una categoría de homotopía estable . Esta categoría tiene muchas propiedades agradables que no están presentes en la categoría de espacios de homotopía (inestable), debido al hecho de que el functor de suspensión se vuelve invertible. Por ejemplo, la noción de secuencia de cofibración y secuencia de fibración son equivalentes.
Ver también
Referencias
- ^ Serre, Jean-Pierre (1953). "Groupes d'homotopie et classes de groupes abelien". Annals of Mathematics . 58 (2): 258–295. doi : 10.2307 / 1969789 . JSTOR 1969789 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ Nishida, Goro (1973), "The nilpotency of elements of the estable homotopy groups of spheres", Journal of the Mathematical Society of Japan , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969 / jmsj / 02540707 , ISSN 0025-5645 , MR 0341485 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Adams, J. Frank (1966), Teoría de la homotopía estable , Segunda edición revisada. Conferencias dictadas en la Universidad de California en Berkeley, 1961 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0196742 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- May, J. Peter (1999), "Topología algebraica estable, 1945-1966" (PDF) , Topología algebraica estable, 1945-1966 , Amsterdam: North-Holland, págs. 665–723, CiteSeerX 10.1.1.30.6299 , doi : 10.1016 / B978-044482375-5 / 50025-0 , ISBN 9780444823755, MR 1721119
- Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de la homotopía estable , Annals of Mathematics Studies, 128 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-02572-8, MR 1192553 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )